数列の漸化式の解き方全パターンまとめ

この記事は、

・「数列の漸化式がよくわからない人(1)」には「漸化式とは何か?」を解説し

・「漸化式の意味はわかるが、種類が多くどう言うときにどの解き方をすれば良いかわからない、「漸化式の整理整頓」をしたい人(2)」と、

・「(1)の人で『漸化式とは?』を読み終わった人」向けに、

一般項の求め方全11種と、その記憶量を激減させるコツを順番にまとめた「漸化式の解き方一覧」を並べたページです。

(2)の人は、「漸化式とは?」が少々長くなるので、飛ばして次の「この記事の使い方」からお読みください。

漸化式とは?

漸化式(ぜんかしき)は、簡単に言うと数列(数の列)で「前の数字と次の数字をつなぐ『決まり』」のようなものです。

むかし話を用いて詳しく説明していきます。

(有名な逸話なので諸説あります)

昔々、手柄を立てた家臣に殿様が褒美を聞いたところ、その家臣は『1日目に米1粒、2日目にはその倍の2粒、3日目には4粒・・・』と答えました。

殿様は欲のない家臣に喜んで褒美を約束します。(話のオチはわかるかと思いますが。。)

20日を超えたあたりからほうびの量が、一俵、二俵と膨らみ、30日目には1日60俵以上になります。

このままでは、国中の米が無くなることに気付いた殿様が謝った・・・

さて、この昔話を数式っぽく表すと、

(前日の米粒)×2=(今日の米粒)となります。また、(今日の米粒)×2=(あすの米粒)ですね。

このように前日から今日、今日から明日と、ほうびの米粒の量の『決まり』を式で示すことができます。

この式のことを「漸化式」と言うのです。

$$A_{n+1}=2 A_{n} (n=1,2,3・・・)$$

実際にはこのように書きます。

漸化式を解くことはなんの役に立つのか

これから、以下の漸化式の解き方まとめでは11種類の漸化式の解き方を解説していますが、

(漸化式を解いて一般項を計算する)

これが何の為なのか理解しておくことが大切です。

漸化式を与えられて、(あるいは、レベルが上がると自分で漸化式を作ることもあります。)
<例:確率漸化式を作る方法を良問で習得しよう

一般項を求めるメリットを先ほどの昔話から一つ紹介しておきます。

上の式は等比数列型の漸化式で、これを解くと

$$A_{n}=2^{n-1} ,A_{1}=1(n=2,3、、、)$$

となります。

漸化式のままではn=20(日)目にほうびが何粒になっているか、1×2×2×・・・と19回も計算する必要がありますが、

一般項を求めることで、

$$A_{n}のnに$$

20を代入するだけで済むのです。

これがもう少し複雑な漸化式の場合、

$$a_{n+1}=4a_{n}+8^{n},a_{1}=2$$

$$この式のa_{20}を求めるためには、a_{1}=2、$$

この2をa_{n}に代入して、8を2乗したものを足す$$=a_{2}$$

$$これを19回行わないといけません。$$

しかし、漸化式を解くことで

$$一般項がa_{n}=2\times 8^{n-1}となるので$$

$$n=20を代入すると・・・、a_{20}=2\times 8^{19}$$

と一瞬で求まってしまいました。

これほど楽に計算できるわけです。

この他にも様々な利用法がありますが、そろそろ本題の「漸化式の解き方まとめ:<漸化式の解き方の使い方>」に移ることにしましょう。

(シリーズが増えてきたので、作成済みの記事をこのページにまとめておきます。記事完成次第更新+改良していくのでたまに見に来ていただくと内容がパワーアップしていると思います。)

<漸化式の解き方>の使い方

11パターンと聞くとものすごく多いと感じる人もいると思います。

しかし、実際はその殆どが第一回「等差・等比・階差数列型の漸化式の解き方」で紹介するかたちに「変形」するだけで解けるのです。

<漸化式の解き方>の使い方に沿って、一つ一つ記事を読んでもらえれば、その変形する方法を全て解説しているので必ず解けるようになります。

一度に変形法(記事)を読まなくて良いので、ゆっくりと何度も読み込んで下さい。

初学者/苦手意識のある人は基本的に並べている順番通りに上の記事から読んでいってください。

それ以外で、もし特定の漸化式の解き方に弱点がある場合にはその記事だけ読んで頂ければ良いです。

各記事中にその漸化式を解くにあたって、知っておかなければいけない知識があれば、

解説しているページにリンクしているので、ページを相互に行き来しながら漸化式のマスターを目指してください!

数列の漸化式の解き方一覧

第0回 数列の和とΣ公式

これから漸化式を解くに当たって、数列の和やΣ記号の意味、

公式は自由自在に使える必要があります。

曖昧な部分がある人は要チェックの記事です。

数列の和SnとΣ公式の意味がわかる!

第一回:等差/等比/階差数列型の漸化式の解き方

冒頭で書いたように、基本的に漸化式は全てこの3タイプのどれかに帰着します。

(そうなる様に変形します)従って、全ての数列の漸化式の解き方の土台になる部分なので、確実に抑えておきましょう。

等差数列の問題例:

$$a_{n+1}=a_{n}+1  初項a_{1}=1$$

等比数列の問題例:

$$a_{n+1}=3a_{1}, a_{1}=2$$

階差数列は次のような数列のことです。

$${an}=1、3、7、13、21・・・$$

一般項の求め方は以下の記事をご覧ください!

漸化式第一回等差/等比/階差数列型

第二回:等比数列帰着型の漸化式(A[n+1]=pAn+q)の解き方

うまく式変形(比較して)等比数列型の漸化式に帰着させます。これから先(第三回以降)に紹介する漸化式のでは殆どがこの等比数列帰着型を利用します!

$$問題例:a_{1}=8,a_{n+1}=2a_{n}+4$$

(詳しい一般項の求め方は以下の記事で紹介しています。)

漸化式第二回等比数列帰着型」

第三回:階差数列帰着型の漸化式の解き方

今度は階差数列型の漸化式に帰着させるタイプの漸化式の解き方です。

$$問題例:a_{1}=2,a_{n+1}=a_{n}+6n+3$$

解き方(一般項の求め方)は以下の記事をチェック!

漸化式第三回階差数列帰着型

第四回:SnとAnが組み合わさった式

数列の和であるSnとAnの関係をつかって一般項を導出する方法の解説です。

Snを「ずらして」Anを求めるといった手段を用います。

$$問題例: S_{n}=n^3+n+1,a_{1}=2$$

数列の和SnとAnが等式で結ばれたタイプ

第五回:漸化式中にn乗やAnが分母分子にある場合の解き方

この辺りから、特に経験している人としていない人で差がつき始める所です。

逆数を取ったり、n+1乗で割ったり、式変形もユニークになってきます。

漸化式中にn乗がある問題例

$$a_{n+1}=4a_{n}+8^{n},a_{1}=2$$

分母分子にAnがある漸化式の例

$$a_{1}=5,a_{n+1}=\frac {a_{n}}{3a_{n}+5}$$

これらの一般項の求め方の手順は以下の記事をチェック!

数列の漸化式の解き方第五回n乗型と分数型

第六回:三項間漸化式の解き方(上)

$$問題例:a_{1}=3,a_{2}=7,a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}$$

漸化式の解き方第六回三項間漸化式(上)

第七回:三項間漸化式の解き方(下)と常用対数使用型の漸化式

第七回では、特性方程式の解が重解になった場合+常用対数を使う漸化式を解説しています。

重解を持つ三項間漸化式の問題例

$$a_{n+2}-10a_{n+1}=-25a_{n},a_{1}=1,a_{2}=10$$

常用対数利用型の問題例

$$a_{1}=5,\left( a_{n+1}\right) ^{4}=\left( a_{n}\right) ^{2}$$

解き方は以下の記事をチェック!

数列の漸化式の解き方7:三項間漸化式(下)、常用対数利用型

第八回【連立漸化式の解き方】対称型と非対称型

連立漸化式(対称型)の

$$問題例:a_{n+1}=5a_{n}+3b_{n},b_{n+1}=3a_{n}+5b_{n}$$

$$,a_{1}=1,b_{1}=2$$

詳しい解き方と、『非対称型』については以下の記事をご覧ください!

数列の漸化式の解き方第8回;連立漸化式の解き方2パターン

第九回 +α「確率漸化式の解き方」

場合の数と確率分野と漸化式の融合分野です。

確率漸化式は、苦手な人が多い二つの単元を同時に問えるので、超頻出です。

逆に言うと確率漸化式を得意にしてしまえば、

特に理系/難関大文系受験生は大きなアドバンテージを得られます!

確率漸化式の解き方/作り方を良問でマスター

第十回 「連立確率漸化式の解き方」

確率漸化式の中でも難しい、連立漸化式を解く必要があるタイプです。

第八回の連立漸化式の解き方を思い出しながら読んで下さい。

連立確率漸化式の解き方

第11回「数学的帰納法のキソ」

数学的帰納法のキソと証明のコツ

第12回「一般項を予測して帰納法で証明」

数列の漸化式の解き方12:数学的帰納法で予測した一般項を証明する型

以降は出来次第更新していきます。少々お待ちください。

数列の漸化式の知識を活かして数学Ⅲの極限へ!

数学Ⅲ:極限分野は数列と非常に相性が良く、理系ならば必ず勉強する必要があります。

今回は、極限を得意にするために必要な記事を6記事まとめたので、是非ご覧下さい!

極限を得点源にする記事6選!を読む。

漸化式に関係する範囲のまとめ

極限以外で数列の漸化式と関連があり、且つ苦手な人が多い重要範囲のまとめ記事へのリンクです。

場合の数と確率のまとめ

場合の数と確率の総まとめを読む。

確率漸化式を解いて、その極限を求めるなど、数列・極限と融合した問題が頻繁に出題される範囲です。

整数問題まとめ

整数範囲総まとめを読む。

整数分野も同様に数列との融合問題が出題されます。

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