数列の漸化式の解き方全12パターンまとめ

この記事は、「数列の漸化式がよくわからない人(1)」には「漸化式とは何か?」を解説し、

「漸化式の意味はわかるが、種類が多くて、どの解き方をすれば良いかわからない、「漸化式の整理整頓」をしたい人(2)」と、

「(1)の人で『漸化式とは?』を読み終わった人」向けに、

一般項の求め方全12種と、その”記憶量を激減させるコツ”を順番にまとめた「漸化式の解き方一覧」を並べたページです。

(2)の人は、「漸化式とは?」が長くなるので、飛ばして「一般項を求めるパターンの記憶量を減らすコツ」からお読みください

↓以下の目次から解きたい漸化式のタイプを選んでご覧下さい↓

漸化式とは?

漸化式(ぜんかしき)は、簡単に言うと数列(数の列)で「前の数字と次の数字をつなぐ『決まり』」のようなものです。

むかし話を用いて詳しく説明していきます。

(有名な逸話なので諸説あります)

昔々、手柄を立てた家臣に殿様が褒美を聞いたところ、その家臣は『1日目に米1粒、2日目にはその倍の2粒、3日目には4粒・・・』と答えました。

殿様は欲のない家臣に喜んで褒美を約束します。(話のオチはわかるかと思いますが。。)

20日を超えたあたりからほうびの量が、一俵、二俵と膨らみ、30日目には1日60俵以上になります。

このままでは、国中の米が無くなることに気付いた殿様が謝った・・・

さて、この昔話を数式っぽく表すと、

(前日の米粒)×2=(今日の米粒)となります。また、(今日の米粒)×2=(あすの米粒)ですね。

このように前日から今日、今日から明日と、ほうびの米粒の量の『決まり』を式で示すことができます。

この式のことを「漸化式」と言うのです。

\(A_{n+1}=2 A_{n} (n=1,2,3・・・)\)実際にはこのように書きます。

漸化式を解くことはなんの役に立つのか

これから、以下の漸化式の解き方まとめでは12種類の漸化式の解き方を解説していますが、

(漸化式を解いて一般項を計算する)これが何の為なのか理解しておくことが大切です。

漸化式を与えられて、(あるいは、レベルが上がると自分で漸化式を作ることもあります。)
<例:確率漸化式を作る方法を良問で習得しよう

一般項を求めるメリットを先ほどの昔話から一つ紹介しておきます。

上の式は等比数列型の漸化式で、これを解くと

\(A_{n}=2^{n-1} ,A_{1}=1(n=2,3、、、)\)

となります。

漸化式のままではn=20(日)目にほうびが何粒になっているか、1×2×2×・・・と19回も計算する必要がありますが

一般項を求めることで、

A_{n}のnに、20を代入するだけで済むのです。

これがもう少し複雑な漸化式の場合、

\(a_{n+1}=4a_{n}+8^{n},a_{1}=2\)

この式のa_{20}を求めるためには、\(a_{1}=2、\)

この2をa_{n}に代入して、8を2乗したものを足す\(=a_{2}\)

これを19回も行わないといけません。

しかし、漸化式を解くことで一般項が\(a_{n}=2\times 8^{n-1}\)とわかるので、

n=20を代入すると、\(a_{20}=2\times 8^{19}\)と一瞬で求まってしまいました。

これほど楽に計算できるわけです。

この他にも様々な利用法がありますが、そろそろ本題の「漸化式の解き方まとめ:<漸化式の解き方の使い方>」に移ることにしましょう。

(シリーズが増えてきたので、作成済みの記事をこのページにまとめておきます。記事完成次第更新+改良していくのでたまに見に来ていただくと内容がパワーアップしていると思います。)

一般項を求めるパターンの記憶量を減らすコツ

12パターンと聞くとものすごく多いと感じる人もいると思います。

しかし、実際はその殆どが第一回等差・等比・階差数列型の漸化式の解き方

等比数列帰着型の漸化式の解き方で紹介するかたちに「変形」するだけで解けるのです。

つまり、【第1回の一般項の求め方】と【第2回の一般項の求め方】さえ頭に入れておけば、残りのパターンは『どう変形するか』の方法を覚えておけば良いので、負担が大きく減少します。

<漸化式の解き方>の使い方に沿って、一つ一つ記事を読んでもらう事で、その変形する方法を全て解説しているので必ず解けるようになります。

一度に変形法(記事)を読まなくて良いので、ゆっくりと何度も読み込んで下さい。

<学習の進め方>

初学者/苦手意識のある人は、基本的に並べている順番通りに上の記事から読んでいってください。

それ以外で、もし『特定の漸化式』の解き方に弱点がある場合にはその記事だけ読んで頂ければ良いです。

各記事中で、その漸化式を解くにあたって知っておかなければいけない知識があれば、その知識を解説しているページにリンクしているので、ページを相互に行き来しながら漸化式のマスターを目指してください!

数列の漸化式の解き方一覧

では、実際に一般項を求める方法を紹介していきます。

第0回 数列の和とΣ公式

これから漸化式を解くに当たって、数列の和やΣ記号の意味、公式は自由自在に使える必要があります。

詳しくは、「数列の和SnとΣ公式の意味がわかる!」をご覧ください。とくに曖昧な部分がある人は要チェックの記事です。

第一回:等差/等比/階差数列型の漸化式の解き方

<記憶量を減らすコツ>でも書いたように、基本的に漸化式は全てこの3タイプのいずれかに帰着します。

(そうなる様に変形します)従って、全ての数列の漸化式の解き方の土台になる部分なので、確実に抑えておきましょう。

等差数列型漸化式の解き方

等差数列型に関しては、すでに上で紹介していますが、簡単に解き方を説明します。

読んで字のごとく”等しい差”で数が並んでいるので、

はじめの項(以降は初項a1と言います)と隣どうしの差(同様に公差dと言います)から解くことが出来ます。

等差数列
\(初項a_{1}、公差d\)の漸化式\(a_{n+1}=a_{n}+d\)の一般項は

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)で表されます

 

n-1回足す理由と植木算

ここで前の数に公差dを《n回》足さずに(nー1)回足している所を疑問に思った人もいるかも知れません。

実はこの(nー1)は他の漸化式の一般項にもよく出て来るので、詳しく意味を説明しておきます。

(nー1)回足す理由は、a1にn回dを足してしまうと、An(一般項)を通り過ぎてA(n+1)項ができてしまうからです。

昔、植木算を小学校で習った事を覚えているでしょうか?

5本、木が一列に並んでいた時、その間の数は4つでした。

つまり木=数列の第1項、第2項、・・・第五項までの間は4箇所なので、4回公差dを加えるのです。

同様に第n項を求めるならその間の(nー1)回、dを足していくという事です。

この考え方は、後々重要性が増してくるのでぜひ忘れない様にしておいて下さい!

<結論>等差数列の一般項はAn=A1+d(nー1)

で表される。

等比数列型漸化式の解き方

等差の次は等比数列です。漸化式は、An+1=r Anで表されます。

「前の項にr掛けたものが次の項」という意味です。このrを【公比】と言います。

等差数列と同様に、漸化式を解いて一般項を求めると、An=A1・r (nー1)となります。

ここでもnー1が出てきましたが、意味はもう分かると思います。

等比数列の一般項
\(a_{n}=a_{1}\times r^{n-1}\)

次は「階差数列型漸化式」です。

ワンランクupして、Σ(シグマ記号)も出て来ますが、丁寧に解説するので確実に解けるようにしましょう!

階差数列型漸化式の解き方

そもそも階差数列とは何なのか?というところから話していきます。

実例を挙げた方が早く理解出来ると思うので、階差数列の一例を書いて行きます。

{an}=1、3、7、13、21・・・(*)

さて、(*)の規則性が分かりましたか?

等比数列でも無いですし、等差数列でもないのはすぐに分かります。

こういう場合は、となりどうしの差を書き出してみると有効な事があります。

(*)の差を左から書いていくと、2、4、6、8・・・と数列の隣どうしの差が等差数列になっている事が分かります。

この様に、隣項どうしの差を並べたものを『階差数列』と言います。

ではこの場合の(*)の一般項はどの様にして求めるか解説していきます。

一旦差が数列になっているので、これを新たに階差数列{bn}と置きます。

{bn}は、2、4、6、8、・・・の初項2、公差2の等差数列なのでbn=2nが導けます。

ここからがこの数列の最大のポイントなのですが、{an}の初項A1は1、A2はA1にb1=2を足した4、

<point!>A3はA2にb2=4を足したもので7ですが、A1に「b1とb2の和」を足しているものとも考える事ができます。

この考え方の良い所は、(*)の数列の一般項を初項A1と、その差の数列(階差数列)bnの和で表す事が出来る点です。

(注)Σ(シグマ記号)が苦手な人への補足を下で行なっています。

数列の和は、Σで記述できます。ですから、

これまでと同様に初項A1にΣbnk=1→(nー1)を加えた右の式で表わされます。

階差数列の一般項
$$a_{n}=a_{1}+\sum ^{n-1}_{k=1}b_{k}$$
注)上の式はn≧2の時に有効です。n=1の時にも有効な事をcheckする必要があります。

そこで、Σを計算した後の一般項のnの式に1を代入してA1を満たすことを確認して下さい。

一見規則性が見えにくくても、この様な工夫をすることで、

階差数列の一般項も求めることができる様になりました。

補講:Σ記号の意味と公式

ここでは、階差数列や数列の和に必須のシグマ記号について、簡単に説明しておきます。

「数列の和とΣ記号の意味&公式」

↑作成しました!

Σ(シグマ)は数列の総和を表す記号で、例えば数列{An}の第1項から第n項まで全て足し合わせる時は、

$$\sum ^{n}_{k=1}a_{k}$$

という風に書きます。この時{An}がAkに変化している所は間違い易いので注意して下さい。

Σの公式:頻出の公式
\(\sum ^{n}_{k=1}1=n\)
\(\sum ^{n}_{k=1}k=\frac {n(n+1)}{2}\)
\(\sum ^{n}_{k=1}k^{2}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\)
シグマ公式の確認問題
具体例:an=n+1で表される数列を第1項から第10項まで足し合わせた数を答えよ。 $$\sum ^{10}_{k=1}a_{k}=\sum ^{10}_{k=1}k+1$$ $$⇔ \sum ^{10}_{k=1}k+\sum ^{10}_{k=1}1$$ \(⇔ \frac {10(10+1)}{2}+10=65\) \(従って、\sum ^{10}_{k=1}a_{k}=65\)

 

文頭でも書きましたが、次からの10種類以上ある漸化式の解法はほとんどが式変形の後、

最終的にこの3タイプに帰着します。

第二回:等比数列帰着型の漸化式(A[n+1]=pAn+q)の解き方

このタイプは、うまく式変形(比較して)第1回で学んだ”等比数列型”の漸化式に帰着させます。

これから先(第三回以降)に紹介する漸化式では、殆どがこの等比数列帰着型を利用します!

\(問題例:a_{1}=8,a_{n+1}=2a_{n}+4\)

等差数列帰着型の問題例
\(問題例:a_{1}=8,a_{n+1}=2a_{n}+4\)

(詳しい一般項の求め方は、「漸化式第二回等比数列帰着型」←こちらの記事で紹介しています。)

第三回:階差数列帰着型の漸化式の解き方

今度は『階差数列型の漸化式』に帰着させるタイプのです。

階差数列帰着型の問題例(3)
\(a_{1}=2,a_{n+1}=a_{n}+6n+3\)

解き方(一般項の求め方)は「漸化式の解法第三回:階差数列帰着型」←の記事をチェック!

第四回:SnとAnが混ざった漸化式

数列の和であるSnと、一般項Anの関係をつかって漸化式を解く方法の解説です。

Snを「ずらして」Anを求めるといった手段を用います。

Sn・An混在型の漸化式
\(問題例: S_{n}=n^3+n+1,a_{1}=2\)

知っていないと解けない+想像しにくいので、「数列の和SnとAnが等式で結ばれたタイプ」左の記事は必見です。

〜〜

第五回:n乗を含むタイプの指数型漸化式

A[n+1]=p An+◯ ^n型(n乗を含むタイプの漸化式の解き方を例題を通して見ていきましょう。

漸化式中にn乗が含まれるタイプでは、その数のn+1乗で両辺を割ってやると うまく行くことが多いです。

n乗を含む”指数型”漸化式
\((例題1)a_{n+1}=4a_{n}+8^{n},a_{1}=2\)
n乗を含む漸化式の解法(クリックで開きます)
例題1では8nが有るので、8(n +1)で両辺を割ってみます。 $$\frac {a_{n+1}}{8^{n+1}}=\frac {4a_{n}}{8^{n+1}}+\frac {8^{n}}{8^{n+1}}$$ $$\frac {a_{n+1}}{8^{n+1}}=( \frac {1}{2}) \frac {a_{n}}{8^{n}}+\frac {1}{8}$$ $$ここで\frac {a_{n}}{8^{n}}=b_{n},a_{1}=2 ⇔ b_{1}=\frac {1}{4}とすると$$ $$b_{n+1}=\frac {1}{2}b_{n}+\frac {1}{8}$$これは等比数列帰着型なので、 \(\begin{aligned}( b_{n+1}-\frac {1}{4}) =\frac {1}{2}( b_{n}-\frac {1}{4}) \\ b_{1}=\frac {1}{4}\end{aligned}\) \(b_{n}-\frac {1}{4}=c_{n}とおくと、\)、\(c_{n+1}=\frac {1}{2}c_{n},c_{1}=0\) $$0=b_{n}-\frac {1}{4},b_{n}=\frac {1}{4}$$ $$\frac {1}{4}=\frac {a_{n}}{8^{n}}⇔ a_{n}=\frac {1}{4}× 8^{n}$$

 

第六回:逆数を取る分数型漸化式の解き方

次は漸化式中に分数が有り、 その分母分子両方にAnが含まれているパターンです。

一般的にこのような場合は逆数を取ることで解決します。

実際に見て見ましょう。

逆数をとる”分数型”漸化式
\(a_{1}=5,a_{n+1}=\frac {a_{n}}{3a_{n}+5}\)の一般項を求めたい
分数型(逆数をとるタイプ)の漸化式の解き方:クリックで開きます
逆数を取ると\(\begin{aligned}\frac {1}{an+1}=\frac {3a_{n}+5}{a_{n}}\\ \frac {1}{a_{n+1}}=3+\frac {5}{a_{n}}\end{aligned}\) $$\frac {1}{a_{n}}=b_{n},b_{1}=\frac {1}{5}とおくと$$ \(b_{n+1}=3+5b_{n}\) これは等比数列帰着型なので、 $$( b_{n+1}+\frac {3}{4}) =5( b_{n}+\frac {3}{4}) $$ $$( b_{n}+\frac {3}{4}) =c_{n},c_{1}=\frac {1}{5}+\frac {3}{4}=\frac {19}{20}として$$ $$c_{n+1}=5c_{n},c_{1}=\frac {19}{20}$$ \(\begin{aligned}c_{n}=( \frac {19}{20}) ( 5) ^{n-1}\\ b_{n}+\frac {3}{4}=( \frac {19}{20}) ( 5) ^{n-1}\end{aligned}\) \(\begin{aligned}b_{n}=(\frac {19}{20}) (5) ^{n-1}-\frac {3}{4}\\ b_{n}=( \frac {1}{20}) \{ ( 19) ( 5) ^{n-1}-( 15)\} \end{aligned}\) $$a_{n}=\frac {1}{b_{n}}$$だったので、逆数をとって $$一般項a_{n}=\frac {20}{19( 5) ^{n-1}-15}となります。$$

 

まとめ

今回はn+1乗で両辺を割る方法と逆数を取る方法を学びました。

しかしやはり基本は等差/等比数列で、そこに帰着させる方法が異なっているだけです。

第七回:三項間漸化式の解き方(上)

三項間漸化式とは、下の問題例のように数列が3つ隣り合わせで漸化式に入っているもののことを言います。(そのままですね!)

この三項間漸化式も、解き方を知っていないといけないので、「漸化式の解き方第七回:三項間漸化式(上)」をぜひチェックしておいて下さい。

\(問題例:a_{1}=3,a_{2}=7,a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}\)

第八回:重解を持つ三項間漸化式(下)と常用対数利用型漸化式

第七回では、前回の三項間漸化式の解法が使えない、すなわち特性方程式の解が重解になった場合と、漸化式中に指数が入っているパターンの解き方を解説します。

重解を持つ三項間漸化式の解き方(下)

早速例題から始めます。

三項間漸化式(重解型)
\(例題1:a_{n+2}-10a_{n+1}=-25a_{n},a_{1}=1,a_{2}=10\)

この数列の一般項{An}を求めよ。

まずは、前回同様\(a_{n+2}=x^{2},a_{n+1}=x,a_{n}=1\)

として特性方程式を解いていきます。

\(\begin{aligned}x^{2}-10x+25=0\\
( x-5) ^{2}=0\end{aligned}\)

より、x=5

\(従って、a_{n+2}-5a_{n+1}=5( a_{n+1}-5a_{n}) \)

しか作れません。

解が2つある時は2本の式を連立して、A[n+2]を消していきました。

が、今回はその方針が使えません。

重解を持つ三項間漸化式の<解決策>

重解を持つ三項間漸化式の解法(クリックで開きます)
こういう場合には、一旦原点に立ち戻って \(a_{n+2}-5a_{n+1}=5( a_{n+1}-5a_{n}) \)の式をよく見てみます。

 

すると、これまで何度も繰り返してきた、等比数列帰着型の漸化式になっている事が分かります。

 

\(つまり、b_{n}=a_{n+1}-5a_{n}と置いて、\) \(b_{n+1}=5b_{n}の形にすることが出来ます。\) \(ここで\begin{aligned}b_{1}=a_{2}-5a,\\ =10-5\\ b_{1}=5\end{aligned}\)

 

{bn}は公比5、初項5の等比数列であるので、 \(\begin{aligned}b_{n}=5\cdot 5^{n-1}\\ b_{n}=5^{n}\end{aligned}と表せます\)

 

\(更に、先ほどb_{n}=a_{n+1}-5a_{n}と置いたので、\) \(\begin{aligned}a_{n+1}-5a_{n}=5^{n}\\ a_{n+1}=5a_{n}+5^{n}\end{aligned}\) この漸化式は以前解いたことのあるタイプです!(第五回のところをご覧ください)

 

解法としては、両辺を5n+1で割ることで、等差数列型に帰着できるのでした。 $$\frac {a_{n+1}}{5^{n+1}}=\frac {5\cdot a_{n}}{5\cdot 5^{n}}+\frac {5^{n}}{5^{n+1}}$$ $$\frac {a_{n+1}}{5^{n+1}}=C_{n+1}$$ $$\frac {a_{n}}{5^{n}}=C_{n}として、$$ $$C_{n+1}=C_{n}+\frac {1}{5},C_{1}=\frac {1}{5}とおけるので、$$ \(\begin{aligned}C_{n}=\frac {1}{5}+\frac {1}{5}( n-1) \\ C_{n}=\frac {n}{5}\end{aligned}\) $$C_{n}=\frac {a_{n}}{5^{n}}=\frac {n}{5}$$ $$a_{n}=5^{n-1}\cdot n$$

 

この様に、三項間漸化式は特性方程式の解によって2通りの解法があります。

しかしどちらも、結局はこれまでの基本的な漸化式の解き方に帰着するので、よく復習しておきましょう。

 

次は【対数タイプ】です。

常用対数を利用する漸化式

次に紹介する漸化式は、AnとA[n+1]に指数がついているタイプです。

(例題2):今、以下のように初項が2、n+1番目の項はn番目の項の3乗に等しい数列がある。この数列anの一般項を求めよ。

常用対数利用型漸化式の例
\(a_{1}=2,a_{n+1}=a_{n}^{3}\)

数学3では指数が付いていたら自然対数を取る事が多いですが、数2bでは基本的に常用対数をとります。

<参考:「指数・対数の基本とその方程式」>

<参考2:「常用対数の意味と桁数の調べ方への応用」>

常用対数(底が10の対数)をとってAnを求める

\(\log_{10}{a_{n+1}}=3\log_{10}{a_{n}}\)

ここで、対数部分に注目して新たな数列{bn}をおいて一旦簡単にします。

\(\log_{10}{a_{n}}=b_{n} とすると、\)

\(b_{n+1}=3b_{n}, b_{1}=\log_{10}{2}\)

したがって、”bn”は”等比数列型”なので、(参考:「漸化式:等比数列型に帰着させる!」)その一般項は
\(b_{n}=(\log_{10}{2})\cdot 3^{n-1}\)

bnの一般項が求まったので、bnとanの関係式より
anの漸化式に戻すと、

\(\log_{10}{a_{n}}=(3^{n-1})\log_{10}{2}\)

logの前に出ている部分を『対数の法則』を使って以下のように式変形(真数部分のべき乗へ)し、

(このあたりが一番計算ミスをしやすいので要注意です!)

\(\log_{10}{a_{n}}=\log_{10}{2^{(3^{n-1})}}\)

よって、anの部分を比べると、

\(a_{n}=2^{(3^{n-1})}\)・・・(答)

解法の流れは単純ですが、途中の対数計算の時に計算ミス(書き間違い)を起こしやすいので、

慎重に計算することと、一般項が求まったら必ずn=2,3位まで実際に検算して、ミスをしていないかチェックする様にしましょう。

第九回【連立漸化式の解き方】対称型と非対称型

連立漸化式(対称型)の

連立漸化式(対称型)
\(問題例:a_{n+1}=5a_{n}+3b_{n},b_{n+1}=3a_{n}+5b_{n}\)
\(,a_{1}=1,b_{1}=2\)

詳しい解き方と、『非対称型』については以下の記事をご覧ください!

数列の漸化式の解き方第九回;連立漸化式の解き方2パターン

第九回 +α:確率漸化式の解き方

場合の数と確率分野と漸化式の融合分野です。

確率漸化式は、苦手な人が多い二つの単元を同時に問えるので、超頻出です。

逆に言うならば、右の記事で「確率漸化式の解き方/作り方を良問でマスター」確率漸化式を得意にしてしまえば、特に理系/難関大文系受験生は大きなアドバンテージを得られます!

第十回 :連立確率漸化式の解き方

確率漸化式の中でも難しい、連立漸化式を解く必要があるタイプです。

第八回の連立漸化式の解き方を思い出しながら読んで下さい。

連立確率漸化式の解き方

第11回「数学的帰納法のキソ」

苦手な人が多い数学的帰納法ですが、k+1項目を作り出す『コツ』を「数学的帰納法のキソと証明のコツ」の記事で解説しています。

第12回「一般項を予測して帰納法で証明」するタイプの漸化式

これまでの漸化式のいずれのタイプにも当てはまらない場合は、第11回で解説した帰納法を用いて一般項を求めるという方法をとります。

その方法については「数列の漸化式12:数学的帰納法で予測した一般項を証明する型」をご覧ください。

以降は出来次第更新していきます。少々お待ちください。

積分との融合!積分漸化式とは?

ここでは、数学3の積分(部分積分)と融合した「積分漸化式の変形法と問題の解き方」を紹介します。

これまでとは違って、『漸化式を解く』ことよりも漸化式を作り出し、代入する・適切な部分積分を行うことが重要な範囲です。

漸化式に関係する範囲の記事まとめ

極限以外で数列の漸化式と関連があり、且つ苦手な人が多い重要範囲のまとめ記事へのリンクです。

場合の数と確率の解法・解説まとめ

場合の数と確率の総まとめを読む。

確率漸化式を解いて、その極限を求めるなど、数列・極限と融合した問題が頻繁に出題される範囲です。

数列の知識を活かして数学Ⅲの極限へ!

数学Ⅲ:極限分野は数列と非常に相性が良く、理系ならば必ず勉強する必要があります。

ここでは極限を得意にするために必要な記事を6記事まとめたので、是非ご覧下さい!

極限を得点源にする記事6選!を読む。

ここまで、数列の漸化式・性質を中心にその応用・発展分野まで見てきました。

漸化式とその関連分野は、とても一度ではカバーできない範囲+解法の量なので、是非繰り返し手を動かして身につけていきましょう。

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