漸化式の解き方第三回

今回は、A[n+1]=An+(nの式)で出題される、階差数列帰着型の漸化式の解き方を解説しました。

以前の漸化式シリーズは↓

第一回:等差/等比数列と階差数列の漸化式の解き方

第二回:等比数列へ帰着型の漸化式の解き方

番外編:数列の和とΣ記号の意味と公式

階差数列帰着型漸化式の解き方

・階差数列のおさらい

・今回の漸化式の良くあるカタチ

・階差数列帰着型の実例

・この漸化式の解き方

・まとめ

階差数列のおさらい

さて数列の漸化式の解き方第一回:等差/等比/階差数列でも解説しましたが、一応簡単に階差数列についておさらいをしておきます。

ある数列 Anを並べた時に隣の項の関係が分からない時、その項の差をとってみて、その項の差が数列になっている時、これを「階差数列」と呼びます。

例){An}=1、5、13、25、41・・・だと一見規則が見えません。ここで An間の差を取ると

4、8、12、16・・・と初項4、公差4の等差数列になっている事がわかります。この数列の事を「階差数列」と言うのでした。

今回の漸化式でよく見るカタチ

An+1=An +n +1

の様にAn+1= An +(nの式)になっていれば今回紹介する方法で漸化式を解くことができる事が多いです。

階差数列帰着型の具体例

実際にどの様な漸化式なのか見ていきます。

$$例1)a_{n+1}=a_{n}+6n+3,a_{1}=2$$

$$例2)a_{n+1}=a_{n}+n^{2}+3n+1,a_{1}=4$$

$$例3)a_{n+1}=a_{n}+3^{n},a_{1}=5$$

これらの漸化式は全て階差数列の解き方で解く事が出来ます。

実際、(例1)をA1から並べてみると、2、11、26、47・・・の

隣項間の差は9、15、21、と初項9、公差6の等差数列{bn}になっており階差数列と同じカタチをしています。

このタイプの漸化式の解き方

(※)此処からはシグマ公式を使うので、あやふやな人は

こちらから知識を固めて置いて下さい→Σの意味と公式

$$A[n+1]=An+(nの式)→階差数列帰着型とみて、$$

$$a_{n}=a_{1}+\sum ^{n-1}_{k=1}bk$$

$$(階差数列{bn}をbkにした式)として解きます。$$

(※)このタイプでは、一般項を出した後に初項がその式を満たしているか必ずチェックして下さい!

(理由:Σ[k=1]から[nー1]まで足す事を使っているので、n=1の時k=1から0番目まで足すことになり、Σが成立しない為)

具体例1〜3を使って実際に解いていきます。

(例1)

$$a_{n}=2+\sum ^{n-1}_{k=1}\left( 6k+3\right) $$

より、$$a_{n}=2+\left\{ 6\times \frac {\left( n-1\right) \left( n\right) }{2}\right\} +3\left( n-1\right) $$

$$=2+3\left( n^{2}-n\right) +3n-3$$

$$よって、a_{n}=3n^{2}-1$$

$$a1=2を満たしています。$$

(例2)

$$a_{n}=4+\sum ^{n-1}_{k=1}\left( k^{2}+3k+1\right) $$

$$a_{n}=4+\frac {\left( n-1\right) \left( n\right) \left( 2n-2+1\right) }{6}+3\times \frac {\left( n-1\right) \left( n\right) }{2}+\left( n-1\right) $$

$$a_{n}=\frac {24+\left( n^{2}-n\right) \left( 2n-1\right) +9\left( n^{2}-n\right) +6n-6}{6}$$

$$a_{n}=\frac {24+2n^{3}-3n^{2}+n+9n^{2}-9n+6n-6}{6}$$

$$a_{n}=\frac {2n^{3}+6n^{2}-2n+18}{6}$$

$$よって、a_{n}=\frac {n^{3}+3n^{2}-n+9}{3}$$

$$a1=6を満たしています。$$

(例3);(例1、2)との違いは、階差数列{bn}が等差数列ではなく、等比数列になっている点だけです。

従って3^nをb1=3、r(公比)=3の等比数列として計算していきます。

$$a_{n}=5+\sum ^{n-1}_{k=1}\left( 3^{k}\right) $$

$$ここで、等比数列の和の公式s_{n}=\frac {a_{1}\left( r^{n}-1\right) }{r-1}を使って、$$

$$a_{n}=5+\frac {3\left( 3^{n-1}-1\right) }{3-1}=5+\frac {3^{n}-3}{2}$$

$$よって、a_{n}=\frac {3^{n}+7}{2}$$

$$a1=5を満たしています。$$

 

まとめと次回予告

この様にして An+1=An +(nの式)型の漸化式は解くことが出来ます。もう一度注意!最後に一般項が初項を満たすかのcheckは必ず行ってください!

続編作成しました!

次回は、(数列の漸化式の解き方シリーズ

第四回)、Sn(数列の和)の式から一般項{An}を作るタイプを扱います。

第五回:分数で表された漸化式の解き方

第六回:三項間漸化式の解き方(1)

第七回:三項間漸化式の解き方(2)/特性方程式が重解を持つタイプ

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今回も最後まで読んでいただき有難うございました。

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