漸化式の解き方12回:一般項を予測して数学的帰納法で証明するタイプ

 

漸化式の解き方第12回は、これまでのタイプ1〜11が全て使えない時or上手く変形出来ない時に、

一般項を漸化式から推測して、数学的帰納法で証明する事で求める方法です。

数学的帰納法が苦手な人のために、専用の解説記事を用意して、更に例題中の式変形をかなり丁寧に書きました。

数学的帰納法を使う漸化式の解き方

数学的帰納法については右の記事「数学的帰納法とは?そして証明する方法」をご覧下さい!

これまでの漸化式の解き方は「数列の漸化式の解き方(一般項の求め方)一覧」←のページにまとめています。

今回は実際に問題を解きながら解説していきます。

数学的帰納法 +漸化式

例題1:以下に初項と、n+1項、n項の漸化式を示す。一般項を求めよ。

$$a_{1}=\frac{1}{2}   ,  a_{n+1}=\frac{8a_{n}-1}{25a_{n}-2} ,(n=1,2,3...)$$

解説1:大体4〜6項目まで書き出してみて、一般項を予測してみます。

4〜6項目まで書き出して法則性を調べる

$$a_{1}=\frac{1}{2} ,$$

$$a_{2}=\frac{8\times \frac{1}{2}-1}{25\times \frac{1}{2}-2} =\frac{2}{7} ,$$

$$a_{3}=\frac{8\times \frac{2}{7}-1}{25\times \frac{2}{7}-2} =\frac{9}{36} =\frac{1}{4} =\frac{3}{12} ,$$

$$a_{4}=\frac{8\times \frac{1}{4}-1}{25\times \frac{1}{4}-2} =\frac{4}{17} ,$$

$$a_{5}=\frac{8\times \frac{4}{17}-1}{25\times \frac{4}{17}-2} =\frac{5}{22} ,$$

 

$$ここまでで推測出来る事は、$$

$$分母が2→7→12→17→22$$

$$分子が、1→2→3→4→5$$

ポイントは、第3項で完全に約分せず、3/12に気付けるかです。

ただし、この様な場合はだいたいが「一般項を予測→数学的帰納法」のパターンである事が“問題文から読み取れる(ヒントがある)”ので注意深く文を読んでいけば問題ないでしょう。

さて、ここから一般項を予測します。

一般項の予測

分子はn(n=1,2,3...)、分母は初項2,公差5の等差数列になっているので

$$一般項a_{n}=\frac{n}{2+5(n-1)}=\frac{n}{5n-3},(n=1,2,3,,,)$$

である事が予測できます。

次に、数学的帰納法を用いて、nが全ての自然数で成り立つことを証明出来れば、一般項が求まります。

数学的帰納法で証明

$$以下一般項a_{n}が=\frac{n}{5n-3},(n=1,2,3,,,)で表される...(※)$$

ことを数学的帰納法を使用して証明していきます。

$$(ⅰ)n=1の時、a_{1}=\frac{1}{2\times 1-3}=\frac{1}{2}より(※)は成立$$

$$(ⅱ)n=k(kは正の整数)の時、$$

$$a_{k}=\frac{k}{5k-3}で表せると仮定すると$$

<ここでpoint!:目標とするk+1番目の式をmemoしておきます。>

$$<目標:a_{k+1}=\frac{(k+1)}{5(k+1)-3},>$$

$$n=k+1の時、$$

$$問題文の漸化式a_{n+1}=\frac{8a_{n}-1}{25a_{n}-2} より、$$

$$a_{k+1}=\frac{8a_{k}-1}{25a_{k}-2}$$

$$この式のa_{k}に、n=kの時仮定した$$

$$a_{k}=\frac{k}{5k-3}を代入すると、$$

$$a_{k+1}=\frac {8\times \left( \frac {k}{5k-3}\right) -1}{25\times \left( \frac {k}{5k-3}\right) -2}$$

$$\frac {\frac {8k-5k+3}{5k-3}}{\frac {25k-10k+6}{5k-3}}、分母分子に5k-3をかけて、$$

$$\frac {3k+3}{15k+6}=\frac {k+1}{5k+2}ここで$$

$$先ほどの目標とする式を思い出して、、$$

$$(目標の式):a_{k+1}=\frac{(k+1)}{5(k+1)-3}の形に$$

$$a_{k+1}=\frac {k+1}{5k+2}を変形すると、a_{k+1}=\frac{(k+1)}{5(k+1)-3}$$

$$よって、a_{k+1}でも成り立つ。$$

$$よって数学的帰納法より、$$

$$一般項a_{n}=\frac{n}{5n-3},(n=1,2,3,,,)$$

流れはつかめてきたでしょうか。

ここでもう一題、定着用の類題を用意しました。

一般項推測+数学的帰納法型(2)

この問題は一般項を推測するのが難しいので、ヒントを読んで、一般項を把握したのちに“自力”で数学的帰納法を使って証明してみてください。

例題2:$$初項a_{1}=5,a{n+1}=2a_{n}+3^{n}の一般項を推測し、$$

$$数学的帰納法を用いてそれを証明せよ。$$

(6項目くらいまで自力で計算して、一般項を予測してみて下さい。わからない場合はヒントへ)

・・・

・・・

$$hints!一般項:a_{n}=2^{n}+3^{n} $$

$$(これを思い付くのはかなり難しいです)$$

ここからが本題の数学的帰納法で証明する領域です。

例題1や、前回の記事「数学的帰納法を使った証明のコツ」をよく読んで、自分で証明を紙に書いてみて下さい。

解答解説2

では証明していきます。

$$一般項がa_{n}=2^{n}+3^{n}$$

$$であることを数学的帰納法で証明する。$$

$$(ⅰ)n=1の時、a_{1}=2+3=5 より成立する。$$

$$(ⅱ)n=kの時、a_{k}=2^{k}+3^{k}が成り立つと仮定すると、$$

$$<※ここで目標とする式をmemoしておきます>$$

$$<:(目標の式:a_{k+1}=2^{k+1}+3^{k+1})>$$

$$n=k+1の時、問題文中の漸化式$$

$$(a_{n+1}=2a_{n}+3^{n})より$$

$$a_{k+1}=2a_{k}+3^{k}$$

$$このa_{k}に(ⅱで仮定した)2^{k}+3^{k}を代入すると、$$

$$a_{k+1}=2×(2^{k}+3^{k})+3^{k}$$

$$⇔a_{k+1}=2×2^{k}+2×3^{k}+3^{k}$$

$$ここで、3^{k}で右辺の一部をくくる。$$

$$⇔a_{k+1}=2×2^{k}+(2+1)×3^{k}$$

$$⇔a_{k+1}=2^{k+1}+3^{k+1}$$

$$したがって、n=k+1の時も成立するので、$$

$$一般項はa_{n}=2^{n}+3^{n}$$

まとめと漸化式の解き方一覧

・今回の例題2は、他の漸化式の解き方のタイプでも解けるのですが(→「指数型の漸化式の解き方」)、仮に忘れていても今回の方法で解くことが出来ます。

・勿論、今回の推測→数学的帰納法で証明でしか解けない問題も出題されるので、是非身につけておきましょう。

・今回までで漸化式の解き方シリーズはほぼ網羅しました。

・一回で全てマスターする事は難しいので、以下のリンク先のまとめページを使って、何度も見直し、類題を解いて定着させて下さい!

↓↓↓                                                 ↓↓↓

<数列の漸化式の解き方一覧:全12選>

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

 

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