隣接３項間の漸化式の一般項の求め方をわかりやすく！

3項間漸化式の解き方

今回は数列の漸化式の解き方/六回目として、３項間漸化式を扱います。

第一回から第五回までの漸化式の解き方は、以下の漸化式まとめページよりご覧ください！↓

漸化式の解き方の網羅記事への＜「漸化式とは？その解き方全１１種類まとめ」＞リンク作成しました！

三項間漸化式を解く:数列漸化式(6)

・三項間漸化式の実例

・解法の流れ|特性方程式を解く

・→等比数列型へ変型する

・→2つの等比数列を解く

・→二項間漸化式が出現する

・→2つの漸化式を引いて一般解が求まる

・実例で実際に一般項を導く

・まとめと次回予告（特性方程式が重解を持ったタイプの三項間漸化式の解き方）

三項間漸化式の実例

その名の通り、二項が隣あっていたこれまでの漸化式の項数が3項に増えたものです。

例えば、$$ a_{n+2}+pa_{n+1}=qa_{n}の様な形です。$$

$$実例)A_{1}=3,a_{2}=7,a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}$$

この（実例）は下の項「三項間漸化式から一般項を導く」で解説しています。

漸化式の解き方/一般項を求める流れ

・→特性方程式を解いて２解を出す

・→２解を利用して２つの等比数列型を完成させる

・→2つの等比数列の漸化式を解く

・→2つの式を引く

・→一般解が求まる

基本的な考え方は、以前解説した「等比数列帰着型の漸化式の解き方」と同じで、

何とか等比数列型にしたいというものです。

$$具体的には、 a_{n+2}+pa_{n+1}=qa_{n}の様な形を$$

$$( a_{n+2}-sa_{n+1}) =t( a_{n+1}-sa_{n}) $$

$$に変型させて、(左辺を)b_{n+1}=tb_{n}とする事が目的です。$$

$$ここで( a_{n+2}-sa_{n+1}) =t( a_{n+1}-sa_{n})を展開してみると$$

$$a_{n+2}-sa_{n+1}=ta_{n+1}-tsa_{n}となり、さらに整理すると$$

$$a_{n+2}-(s+t) a_{n+1}+( st) a_{n}=0$$

これを見て、「何かと似ている」と思いませんか？

この形は「解と係数の関係」で習う「s,tを２解とする二次方程式」そっくりです

そこで、

a_n+2→ x²
a_n+1→ x
a_n→ x⁰

とみなして方程式を作り、出てくる２解（x＝s,tとする）から２つの

$$( a_{n+2}-sa_{n+1}) =t( a_{n+1}-sa_{n})式を作ります。$$

このように、各項をxの方程式に見立てたものを「特性方程式」と呼びます。

三項間漸化式の一般項を導く（実例）

実際にはじめに紹介した三項間漸化式の例を解いてみます

$$A_{1}=3,a_{2}=7,a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}$$

$$\begin{aligned}a_{n+2}=x^{2}\\
4a_{n+1}=4x\\
-3a_{n}=-3\end{aligned}$$

x²-4x+3=0より、この特性方程式の解は、x=1,3。

この特性方程式の２解を使って、等比数列型へ帰着させます。

$$a_{n+2}-(a_{n+1}) =3( a_{n+1}-a_{n}) ・・・式１$$

$$a_{n+2}-3a_{n+1}=( a_{n+1}-3a_{n})・・・式２ $$

式１はb[n+1]＝3bn、b1＝A2-A1=4

$$従ってb_{n}=4\times (3) ^{n-1}$$

式２も同様に、A[n+1]ー3An＝Cnとすると、

$$c_{n}=-2× (1) ^{n-1}$$

ここで、bnーcnより、

$$(a_{n+1}-a_{n}) -( a_{n+1}-3a_{n}) $$

$$2a_{n}=4\times (3) ^{n-1}-(-2) $$

$$従って、一般項a_{n}=2\times 3^{n-1}+1$$

この様にして三項間漸化式を解くことが出来ました。

ただ単にテクニック(手段)として【特性方程式】を覚えるのでは無く、

目的:「三項間型を→等比数列型へ変型する為」を理解して使う様にしましょう。

まとめと続き：三項間漸化式の”特性方程式が重解を持った”場合へ

漸化式シリーズも残り少なくなって来ました。

次回は、「３項間漸化式の解き方(下)特性方程式の解が重解になった場合」と「常用対数を活用する漸化式」を紹介します。（※：次回分は以下のまとめページ第７回の部分で解説しています。）

→「漸化式の解き方を0から分かりやすく解説!全11記事を厳選しました」←にて、

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