数学的帰納法の基礎と証明の仕方

 

この記事を読んでいるあなたは「数学的帰納法」のことは知っていても、実際に帰納法を使って証明することが苦手だったり、どうやってk+1番目を導けば良いのか悩んでいるのではないでしょうか?

この記事では、数学的帰納法の意味を振り返りつつ実際に数列の和の公式を題材に、上手く証明するコツを解説しています。

ぜひじっくりと読んでみて下さい。

数学的帰納法とは?

何をしているか良くわからない人が多い「帰納法」ですが、実は身近で使われていることも多く、無意識のうちにあなたも利用しているのです。

普段の生活から証明の型を覚えることによって、試験でも簡単に解けるのが“数学的帰納法”ですので、しっかりとその基礎を固めましょう。

それでは解説していきます。

帰納法を考えたのは、“ブレーズ・パスカル”だと言われています。

とても有名な方なので、難しい理論だと想像する人も多いかもしれません。しかし、実際はとても簡単です。

(数学的)帰納法とは証明の方法の1種で、仮定から結論を導く方法です。

実生活で例えると、「今日まで見たカラスは全部黒色だった」だから「全てのカラスは黒い」という結論の出し方です。

とても簡単ですね。

ただし、数学的帰納法と帰納法は若干の違いがあるため、

ここからは【数学的帰納法】を利用した、証明の手順を紹介します。

数学的帰納法での証明の手順

手順は以下の通りです↓

(命題とは、これから証明するものの事です)

(1)n=1の時、命題が成立することを証明する

(2)n=kの時、命題が成立すると仮定すると、n=k+1の時も命題が成立することを示す。

この2段階の手順を踏むことによって、

・n=1の時成立、

・n=k+1のkに1を代入するとn=1+1=2の時も成立、

・n=k+1のkに2を代入するとn=2+1=3の時も成立・・・と

次々に「全ての正の整数(自然数)で成立」することを示す事ができます。

この様子はよく「ドミノ倒し」に例えられるので、知っている人も多いのではないでしょうか?

これが数学的帰納法の基本的な手順・考え方です。

ただし、このままではわかりにくいかと思うので、実際に例題を解きながら理解していきましょう。

有名なシグマ(数列の和)の公式を証明してみる

問)
$$1^{2}+ 2^{2}+ 3^{2}+…… + n^{2} =\frac{n(n + 1)(2n + 1) }{6}$$

$$を数学的帰納法を使って証明せよ$$

$$これは、\sum ^{n}_{k=1}k^{2}の有名な公式です。$$

(数列の和の公式については→「数列の和とシグマ公式の解説」)

解法)先ほど解説した手順にそって問題を解いていきます。

(ⅰ)n=1の時、命題が成り立つことを証明する

n=1 のとき
$$(左辺)= 1^{2}= 1、(右辺)=1×2×\frac{3}{6 }= 1$$
$$より成り立つ$$

(ⅱ)n=kの時に命題が成立すると仮定すると、n=k+1の時も命題が成立する事を示す

n=k のとき
 $$1^{2 }+ 2^{2 }+ 3^{2 }+ …… + k^{2}=\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$$

$$が成り立つと仮定する。$$

↑これは数学的帰納法を使用するときに必ず書きます。

n=k + 1 のときを考えると、

$$(左辺)= 1^{2}+ 2^{2}+ 3^{2}+ …… + k^{2} + (k + 1)^{2}$$

ここで、数学的帰納法が得意になる、最大のコツを紹介しておきます。

コツ:目標のn=k+1の式を書いておく!

$$この左辺の式を\frac{(k+1) ((k+1)+1)(2(k+1)+ 1)}{6}$$

$$に持っていくように計算する。$$

理由は、仮定した式の右辺がn=k+1を代入した形になれば、左辺と右辺が等しいことを証明できるからです。

数学的帰納法を使っていると、《最終的にどの様な式に変形すれば良いのか分からなくなる》事があるので、目標とする式を先に書いておくと見通しが良くなり、迷いが減ります!

$$(左辺)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+ …… + k^{2}+ (k + 1)^{2}$$

$$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+ (k+1)^{2}$$

$$=\frac{(k+1)(2k^{2}+k+6k+6)}{6}$$

ここでさらにポイント!

$$おそらく(k + 1)^{2 }が \frac{(k + 1)}{6}で$$

$$くくられた途端、6k+6になったのが$$

$$わからない人がいるかと思います。$$

ですから途中式をさらに解説します。(理解出来ている人は飛ばして下さい)

$$①まずは(k+1)/6を分解すると$$

$$k+1と1/6にすることができる$$。

$$②そして(k + 1)^{2}をk+1だけで$$

$$くくると(k + 1) (k + 1)となる$$

$$③これを残りの1/6でくくると\frac{(k+ 1)(6k + 6)}{6}になります。$$

逆算してみれば同じになりますね。

わかりにくいという人は実際に手を動かして挑戦しましょう。

本題に戻ります。

$$(左辺)= 1^{2}+ 2^{2}+ 3^{2}+ …… + k^{2}+ (k+1)^{2}$$

$$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}$$

$$=\frac{(k+1)(2k^{2}+k+6k+6)}{6}$$

$$=\frac{(k+1)(2k^{2}+7k+6)}{6}$$

$$=\frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6 }←上の式を因数分解しただけです!$$

$$=\frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)}{6}$$

※の目標とする式になりました!

$$よって、n=k +1 のとき成立$$

$$以上より、全ての自然数nについて命題が成り立つ。$$

いかがでしたか?

上にも書きましたが、【n=k+1の目標の式を先に書き、いかに上手く式変形していけるか】になります。

この【コツ】を身に付けるには、さまざまな類題を解いてみることが最短です。

よって、この手順をもう一度復習した上でもう一題、例題に取り組んでみましょう。

数学的帰納法&整数分野の証明問題

この問題は一度自分で上の例題を見ながら解いてみましょう。

難易度は先ほどの問題に比べ優しくなっていますが、変数指定を追加でする必要があります。

数学的帰納法は“整数分野”と相性が良く、数列だけでなく整数問題と融合して出題される事が多いです。

第二問は、その中でも「倍数」に関する問題です。

<参考:「【センス不要】整数分野を得点源にする為の解説記事10選

(例題2)

$$4^{n}–1(n=1,2,3,……)が3の倍数である$$

$$ことを数学的帰納法で示せ$$

(解答解説2)

$$T(n)= 4^{n}–1とおく←見やすくする$$

$$ためにおいているだけです。$$

(ⅰ)n=1の時、命題が成立することを証明する

n = 1 のとき

$$T(1)= 4–1=3は3の倍数。$$

(ⅱ)n=kの時、命題が成立すると仮定すると、n=k+1の時も命題が成立することを示す

n = k のとき
$$T(k)= 4^{k }– 1が3の倍数であると仮定する$$

おなじみの「決まり文句」です。

$$つまり 4^{k}– 1 = 3m (m=1,2,3・・・)と$$

$$おくことができる←ポイントの変数指定$$

$$n=k+1のとき、T(n)のnにk+1を代入すると$$

$$T(k+1)=4^{k+1}-1=4×4^{k} – 1$$

$$仮定の式より、4^{k}– 1 = 3m⇔4^{k} = 3m + 1を代入して$$

$$T(k+1)= 4(3m+1)–1=12m+3$$

$$この式は3でくくることが出来ます!$$

$$=3(4m+1)$$

$$よって T(k+1)も3の倍数になる。$$

$$以上より、全ての自然数nについて命題が成り立つ。$$

いかがでしょうか、①よりも式変形が複雑ではないので解けた方も多いと思います。

$$しかし、ポイントの4^{k}–1=3mとおく$$

$$ことができなければ難しいかもしれません。$$

式変形、変数指定の2つがセットとして問題が出ることも良くあるので注意しましょう。

まとめと次回:数学的帰納法と漸化式へ

“数学的帰納法”という名前だけで苦手意識を持ってしまう方も多い分野ですが、

・決まった手順

・<目標とする式を先に書いておくと言う“コツ”>さえ覚えてしまえば問題なく解いていけると思います。

それでも苦手と感じる方へ

この場合は、数列の和の計算などの【基礎分野】が定着していない可能性があります。

関連記事【数列の漸化式の解き方や数列の和の記事まとめ】を利用して、まずは数列をしっかりと固めてみて下さい。

そして数列の基礎を身に付けてから、再びこの記事を読むと、かなり楽に理解できるようになっているはずです!

一般項を予測する漸化式の解き方へ

次回は漸化式シリーズ第12回として、この数学的帰納法を使い、

【漸化式から一般項を予測して→数学的帰納法で証明】、というパターンを解説していきます。

→「一般項を予測して数学的帰納法で証明する型の漸化式の解き方」←

論理と集合・証明の関連記事

>>関連記事(2018/10/24;NEW):「背理法とは?その意味と証明の手順とコツ」作成しました!ぜひご覧下さい。<<

>>「対偶法とは?逆・裏・対偶の意味と証明の手順」作成しました!<<

 

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

このサイトは皆さんの意見や、記事のリクエスト、SNSでの反応などで日々改善・記事の追加・更新を行なっています。

そこで 、

・記事リクエストと質問・ご意見はコメント欄にお寄せください。可能な限り対応します。

・また、多くの学生・受験生に利用して頂くためにSNSでシェア(拡散)&当サイト公式Twitterのフォローをして頂くと助かります!

・より良いサイト運営・記事作成の為に是非ご協力お願い致します!

・その他のお問い合わせ/ご依頼等はお問い合わせページよりお願い致します。

Twitterでフォローしよう