常用対数と桁数

この記事では、対数の応用問題として頻出の「桁数の求め方」と「その最高位の数字の求め方」を解説していきます。

対数とは

本題に入る前に簡単に対数の性質をおさらいしておきます。

$$\log _{A}B$$

$$の Aをその対数の底と言い、$$

$$対数の底はA>0、 A≠1である必要があります。$$

$$またBの事を真数と言い、B>0の条件(真数条件)があります。$$

$$この\log _{A}Bの意味は、$$

$$Aを◯乗すればBになる数がある時、$$

$$◯=\log _{A}Bと表しているのです。$$

$$もう少し具体的に説明すると、$$

$$A=2、B=8とするならば、2を\log _{2}8乗すれば8になる。$$

$$すなわち、2^{\log _{2}8}=8  と 2^{3}=8 を比べると\log _{2}8=3$$

$$実際の問題ではこの様にきれいな数字が$$

$$出てくることは少なく、上の例の様に$$

$$暗算で3などと分からない場合がほとんどです。$$

$$そのような時に◯=\log _{A}Bとおいておく事にしたわけです。$$

これが対数の基本的な考え方です。

特に対数の底が10の時は常用対数、対数の底がe(ネイピア数)の時は自然対数と言います。

ネイピア数とは?

自然対数は数学Ⅲで非常によく使う事になります。

更に、対数の重要な性質として、「対数の真数の掛け算は対数同士の足し算」&「真数の割り算は対数同士の引き算」に出来ると言うものががあります。以下参照。

$$(例)\log _{A}10=\log _{A}\left( 2\times 5\right) =\log _{A}2+\log _{A}5$$

 

常用対数の特徴

常用対数は上のおさらいでも見た様に、底が10である事から、「桁数(=10のn乗)」を求める時に非常に相性が良いです。

log10Bは【10を何乗すればBになるか】を表した数なので、10進法で桁数を問われた場合には取り敢えず常用対数をとって、その値を求める事が定石です。

 

常用対数の利用

百聞は一見にしかず。実際に例題を通して桁数を求めてみましょう。尚、常用対数の値を求めるにあたって具体的な対数の値は本文に必ず与えられています。

$$(しかもその殆どが \log _{10}2= 0.3010、\log _{10}3= 0.4771 です)$$

$$(例題1):32^{6}の桁数を求めよ。$$

$$ただし\log _{10}2= 0.3010、\log _{10}3= 0.4771 とする。$$

まず常用対数を取ります。

$$\begin{aligned}\log _{10}32^{6}=6\log _{10}32\\
\Leftrightarrow 6\log _{10}2^{5}=30\log _{10}2\end{aligned}$$

$$ここで、\begin{aligned}30\times \log _{10}2= 30\times 0.3010\\
=9.03\end{aligned}$$

従って10を (log10(32^6)乗)=(9.03 乗)したものが32^6なので、

$$9<\log _{10}32^{6}<10より、$$

$$\log _{10}10^{9}<\log _{10}32^{6}<\log _{10}10^{10}$$

$$10^{9}<32^{6}<10^{10}$$

ゆえに、32^6=◯×10^9.03

従って、10桁//

 

常用対数と最高位の数

次に最高位の数字を求めてみます。

最高位の数字は、桁数を求める際に注目する10のn乗の小数部分に着目します。

$$(例題2):15^{25}の最高位の数字と桁数を求めよ。$$

$$ただし\log _{10}2= 0.3010、\log _{10}3= 0.4771 とする。$$

 

(解説2):まず常用対数を取ります。

log1015^25=

$$15を何とか2と3(条件の\log _{10}2=0.3010 $$

$$と\log _{10}3=0.4771 より)及び10( \log _{10}10=1)で$$

$$作る様にするのがpoint$$

$$\begin{aligned}\log _{10}15^{25}=25\log _{10}15\\
= 25\log _{10}\left( 3\times 10\div 2\right) \end{aligned}$$

<真数の掛け算/割り算は対数同士の足し算/引き算>だったので、

$$\begin{aligned}25\log _{10}\left( 3\times 10\div 2\right) \\
= 25\left( \log _{10}3+\log _{10}10-\log _{10}2\right) \end{aligned}$$

$$= 25\left( 0.4771+1-0.3010\right)$$

$$よって\log _{10}15^{25}=29.4025$$

ここで15^25は10を29.4025乗した数なので、桁数は例題1と同様にして、

$$29<log _{10}15^{25}<30より、$$

$$log _{10}10^{29}<log _{10}15^{25}<log _{10}10^{30}$$

$$従って、10^{29}<15^{25}<10^{30}$$

 

30桁と求まります。

次に最高位の数字は、「29.4025乗の0.4025の部分」に注目します。

$$5^{25}= 10^{29.4015}= 10^{29}\times 10^{0.4015}$$

$$と表せるので、10^{0.4025}が最高位の数字になります。$$

$$【イメージ】3\times 10^{29}なら$$

$$30桁で最高位の数字は3になる事と同様です。$$

$$【イメージ】の3の部分が例題2では$$

$$10^{0.4025}となっているだけです。$$

$$従って10^{0.4025}の値を求めればよいのですが、$$

$$当然直接計算出来ないので、不等式で挟んで評価してみます。$$

今与えられている数字は

$$\log _{10}2= 0.3010、と、\log _{10}3= 0.4771$$

だけなのでこの2つを活用します。

$$10^{0.3010}<10^{0.4025}<10^{0.4771}$$

より、$$2<10^{0.4025}<3$$

 

$$よって10^{0.4025}は、2より大きく3未満$$

$$なので、最高位の数字は2$$

 

【解答2】以上をまとめて桁数は「30桁」最高位の数字は「2」が答えとなります。

まとめ

今回の内容は、入試でも頻出なだけでなく、

対数の性質や問題の解き方・考え方など、大切な要素がたくさん詰まっているので、

是非習得する様にしておいて下さい!

 

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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