常用対数と桁数・最高位の数字を求める解法

この記事では、対数の応用問題として頻出の常用対数を利用した、「桁数の求め方」と「その最高位の数字の求め方」を解説していきます。(対数の復習を前半で行なっているので、指数・対数の知識が曖昧な人でも理解できます)

(常用)対数とは

本題に入る前に簡単に対数(と常用対数)の性質をおさらいしておきます。

(指数・対数について詳しくは→「指数/対数とは?知識0から解説!」)

$$\log _{A}B$$

の Aをその対数の底と言い、対数の底はA>0、 A≠1である必要があります。

またBの事を真数と言い、B>0の条件(真数条件)があります。

$$この\log _{A}Bの意味は、$$

Aを◯乗すればBになる数がある時、

$$◯=\log _{A}B$$と表しているのです。

もう少し具体的に説明すると、

A=2、B=8とするならば、$$2を\log _{2}8乗すれば8になる。$$

$$すなわち、2^{\log _{2}8}=8  と 2^{3}=8 を比べると\log _{2}8=3$$

実際の問題ではこの様にきれいな数字が出てくることは少なく、

上の例の様に、暗算で3などと分からない場合がほとんどです。

そのような時に$$◯=\log _{A}B$$とおいておく事にしたわけです。

これが対数の基本的な考え方です。

特に対数の底が”10”の時は”常用対数”、対数の底が”e(ネイピア数)”の時は”自然対数”と言います。

ネイピア数とは?

自然対数は数学Ⅲで非常によく使う事になります。

更に、対数の重要な性質として、「対数の真数の掛け算は対数同士の足し算」&

「真数の割り算は対数同士の引き算」に出来ると言うものががあります。以下参照。

$$(例)\log _{A}10=\log _{A}(2×5) =\log _{A}2+\log _{A}5$$

常用対数の特徴

常用対数は上のおさらいでも見た様に、底が10である事から、

「桁数(=10のn乗)」を求める時に非常に相性が良いです。

log10Bは【10を何乗すればBになるか】を表した数なので、

10進法で桁数を問われた場合には「とりあえず常用対数をとって」、その値を求める事が定石です。

<参考:「n進法と10進法の変換&四則演算」>

常用対数の利用(桁数の求め方)

百聞は一見にしかず。実際に例題を通して常用対数の使い方を見ていきましょう。

なお、常用対数の値を求めるにあたって、具体的な対数の値は本文に必ず与えられています。

$$(しかもその殆どが \log _{10}2= 0.3010、\log _{10}3= 0.4771 です)$$

(例題1):326の桁数を求めよ。

ただしlog 102= 0.3010、log 103= 0.4771 とする。

まず常用対数を取ります。

$$\begin{aligned}\log _{10}32^{6}=6\log _{10}32\\
⇔ 6\log _{10}2^{5}=30\log _{10}2\end{aligned}$$

$$ここで、30× \log _{10}2= 30× 0.3010=9.03$$

従って10を (log10(32^6)乗)=(9.03 乗)したものが326なので、

$$9<\log _{10}32^{6}<10より、$$

$$\log _{10}10^{9}<\log _{10}32^{6}<\log _{10}10^{10}$$

109<326<1010

ゆえに、326=◯×109.03

従って、10桁//

<補足:整数分野のn進法のところでも「桁数」を求める問題が出題されます。ぜひ確認しておきましょう→「n進数での桁数を求める応用問題の解法」>

常用対数と最高位の数

次に常用対数を利用して、最高位の数字を求めてみます。

最高位とは?

「最高位」という言葉の意味について簡単に解説しておきます。

(質問が多いので、、理解している方は下の例題へskipしてください)

最高位とは、文字通りある数の一番上(最高)の数字です。

(例:349021なら最高位の数字は「3」ですし、234ならば最高位の数字は「2」です。)

最高位の数字を求める方法

最高位の数字は、桁数を求める際に注目する10のn乗の小数部分に着目します。

(例題2):1525の最高位の数字と桁数を求めよ。

ただしlog102= 0.3010、log 103= 0.4771 とする。

 

(解説2):まず常用対数を取ります。

log101525

$$15を何とか2と3(条件の\log _{10}2=0.3010 $$

$$と\log _{10}3=0.4771 より)及び10( \log _{10}10=1)で$$

作る様にするのがpointです。

$$\begin{aligned}\log _{10}15^{25}=25\log _{10}15\\
= 25\log _{10}( 3× 10\div 2) \end{aligned}$$

<真数の掛け算/割り算は対数同士の足し算/引き算>だったので、

$$\begin{aligned}25\log _{10}( 3× 10\div 2) \\
= 25( \log _{10}3+\log _{10}10-\log _{10}2) \end{aligned}$$

= 25( 0.4771+1-0.3010)

$$よって\log _{10}15^{25}=29.4025$$

ここで1525は10を29.4025乗した数なので、桁数は例題1と同様にして、

29<log 101525<30より、

$$log _{10}10^{29}<log _{10}15^{25}<log _{10}10^{30}$$

従って、1029<1525<1030より、30桁・・・(答)と求まります。

なぜ最高位の数字が求まるのかをイメージする

次に最高位の数字は、「29.4025乗の0.4025の部分」に注目します。

1525= 1029.4015= 1029× 100.4015

と表せるので、100.4025が最高位の数字になります。

・【理解を助けるイメージ】:3× 1029なら30桁で最高位の数字は3になる事と同様です。

この問題では、イメージの3の部分が100.4025となっているだけです。

従って100.4025の値を求めればよいのですが、当然、直接計算出来ないので、

不等式で挟んで評価してみます。

今与えられている数字は進数が2と3の常用対数の数値:

log 102= 0.3010、と、log103= 0.4771

だけなのでこの2つを活用します。

$$10^{0.3010}<10^{0.4025}<10^{0.4771}$$

より、2<100.4025<3

よって100.4025は、2より大きく3未満なので、最高位の数字は2。

【解答2】以上をまとめて桁数は「30桁」最高位の数字は「2」が答えとなります。

まとめと指数・対数の関連記事

今回の内容は、入試でも頻出なだけでなく、

対数の性質や問題の解き方・考え方など、大切な要素がたくさん詰まっているので、

是非習得する様にしておいて下さい!

<関連記事:「指数・対数の基本と指数・対数方程式の解き方」>

<関連記事(続編):「指数・対数不等式の解法と相加相乗平均との融合」>

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