三項間漸化式の解き方(下)と常用対数利用型漸化式

前回【数列の漸化式の解き方第六回:三項間漸化式の解き方(上)】に引き続き、

今回は三項間漸化式の解き方で、特性方程式の解が重解になってしまう場合の一般項の求め方と、

常用対数を利用するタイプの漸化式の解き方を紹介していきます。

これまでの第一回〜第六回は→「数列の漸化式シリーズ一覧」よりご覧下さい!

三項間漸化式の解き方(下)

早速例題から始めます。

$$例題1:a_{n+2}-10a_{n+1}=-25a_{n},a_{1}=1,a_{2}=10$$

$$この数列の一般項{An}を求めよ。$$

$$まずは、前回同様a_{n+2}=x^{2},a_{n+1}=x,a_{n}=1$$

$$として特性方程式を解いていきます。$$

$$\begin{aligned}x^{2}-10x+25=0\\
\left( x-5\right) ^{2}=0\end{aligned}$$

$$より、x=5$$

$$従って、a_{n+2}-5a_{n+1}=5\left( a_{n+1}-5a_{n}\right) $$

$$・・・しか作れません。$$

$$解が2つある時は2本の式を連立して$$

$$A[n+2]を消していきました。$$

$$が、今回はその方針が使えません。$$

<解決策>

こういう場合には、一旦原点に立ち戻って

$$a_{n+2}-5a_{n+1}=5\left( a_{n+1}-5a_{n}\right) の式をよく見てみます。$$

$$すると、これまで何度も繰り返してきた、$$

$$等比数列帰着型の漸化式になっている事が分かります。$$

$$つまり、b_{n}=a_{n+1}-5a_{n}と置いて、$$

$$b_{n+1}=5b_{n}の形にすることが出来ます。$$

$$ここで\begin{aligned}b_{1}=a_{2}-5a,\\
=10-5\\
b_{1}=5\end{aligned}$$

$${bn}は公比5、初項5の等比数列であるので、$$

$$\begin{aligned}b_{n}=5\cdot 5^{n-1}\\
b_{n}=5^{n}\end{aligned}と表せます$$

$$更に、先ほどb_{n}=a_{n+1}-5a_{n}と置いたので、$$

$$\begin{aligned}a_{n+1}-5a_{n}=5^{n}\\
a_{n+1}=5a_{n}+5^{n}\end{aligned}$$

$$この漸化式は以前解いたことのあるタイプです$$

n乗を含む漸化式の解法

$$詳細は上のリンクよりご覧下さい$$

$$解法としては、両辺を5^{n+1}で割ることで$$

$$等差数列型に帰着できるのでした。$$

$$\frac {a_{n+1}}{5^{n+1}}=\frac {5\cdot a_{n}}{5\cdot 5^{n}}+\frac {5^{n}}{5^{n+1}}$$

$$\frac {a_{n+1}}{5^{n+1}}=C_{n+1}$$

$$\frac {a_{n}}{5^{n}}=C_{n}として、$$

$$C_{n+1}=C_{n}+\frac {1}{5},C_{1}=\frac {1}{5}とおけるので、$$

$$\begin{aligned}C_{n}=\frac {1}{5}+\frac {1}{5}\left( n-1\right) \\
C_{n}=\frac {n}{5}\end{aligned}$$

$$C_{n}=\frac {a_{n}}{5^{n}}=\frac {n}{5}$$

$$a_{n}=5^{n-1}\cdot n$$

$$この様に、三項間漸化式は特性方程式の解によって$$

$$2通りの解法があります。$$

$$どちらも、結局はこれまでの基本的な漸化式の解き方に$$

$$帰着するのでよく復習しておきましょう$$

常用対数を利用する漸化式

次に紹介する漸化式は、AnとA[n+1]に指数がついているタイプです。

$$例題2:a_{1}=5,\left( a_{n+1}\right) ^{4}=\left( a_{n}\right) ^{2}$$

$$数学3では指数が付いていたら自然対数を取る事が多いですが、$$

$$数2bでは基本的に常用対数をとります$$

$$4\log _{10}a_{n+1}=2\log _{10}a_{n}$$

$$\log _{10}a_{n+1}=\frac {1}{2}\log _{10}a_{n}$$

$$ここで\log _{10}a_{n}=b_{n}とおいて$$

$$b_{n+1}=\frac {1}{2}b_{n},b_{1}=\log _{10}5$$

$$b_{n}=\left( \frac {1}{2}\right) ^{n-1}\left( \log _{10}5\right) $$

$$ここで、\log _{10}a_{n}=b_{n}だったので$$

$$\log _{10}a_{n}=\left( \frac {1}{2}\right) ^{n-1}\left( \log _{10}5\right) $$

$$\log _{10}a_{n}=\log _{10}5^{\left( \frac {1}{2}\right) ^{n-1}}$$

$$ここが一番計算ミスをし易いので要注意です!$$

$$両辺を比べて、$$

$$a_{n}=5^{\left( \frac {1}{2}\right) ^{n-1}}が答えになります$$

$$解法の流れは単純ですが、途中の対数計算の時に計算ミス$$

$$(書き間違い)を起こしやすいので$$

$$慎重に計算する事と、一般項が出たら必ず$$

$$n=2,3位まで実際に検算して$$

$$ミスしていないかチェックする様にしましょう$$

まとめと次回予告

今回(第7回目)まででほぼ全てのタイプを紹介しました。

残りは、連立漸化式作成済みと実際にn=1、2、3、4・・・と数字を入れ、「一般項を推測して帰納法で証明するもの」の2つです。

※2018/07/01連立漸化式の解き方についての記事を作成しました。以下のリンクより続けてご覧ください!

係数が対称型/非対称型の2種類の連立漸化式の解き方(数列漸化式8)

あとほんの少しなので是非習得できる様にしましょう。

数列の漸化式の解き方一覧ページに戻る

今回もご覧いただき有難うございました。お役に立ちましたら、シェア&当サイト公式Twitter(@linkyjuku_tweet)のフォローをお願いします!

質問・記事について・誤植・その他のお問い合わせはコメント欄までお願い致します

Twitterでフォローしよう