数列の漸化式の解き方シリーズ第5回

今回は、式中にn乗が入った漸化式の解き方と、分母/分子にAnがある、「分数型漸化式」の解き方を解説します。しっかり解法をstockしましょう。(いずれも、『等比数列帰着型』を目指します)

分数型漸化式・n乗が含まれる指数型漸化式の解き方

・これまでの復習(等差/等比/階差型と等比帰着型)

・An+1=pAn+◯n (n乗を含む)漸化式

・ n乗を含むタイプの漸化式の解き方

・An+1=◯/An   (分母分子にAnがある型)の漸化式

・分数型の漸化式の解き方

・まとめ

これまでの復習

今回まで漸化式の解き方シリーズで、最も基本の「等差数列/等比数列/階差数列型」

多くの漸化式の最終目標である、「等比数列帰着型 」

そして、「階差数列帰着型」

さらに数列の和Snが入った漸化式解き方→「SnとAnの関係を使ったタイプ」を学んで来ました。

今回はn乗を含む漸化式の解き方と分母/分子にAnが入っているタイプの漸化式の解き方を解説していきます。

n乗を含むタイプの指数型漸化式

A[n+1]=p An+◯ ^n型(n乗を含むタイプの漸化式の解き方を例題を通して見ていきましょう。

漸化式中にn乗が含まれるタイプでは、その数のn+1乗で両辺を割ってやると うまく行くことが多いです。

$$(例題1)a_{n+1}=4a_{n}+8^{n},a_{1}=2$$

例題1では8nが有るので、8(n +1)で両辺を割ってみます。

$$\frac {a_{n+1}}{8^{n+1}}=\frac {4a_{n}}{8^{n+1}}+\frac {8^{n}}{8^{n+1}}$$

$$\frac {a_{n+1}}{8^{n+1}}=( \frac {1}{2}) \frac {a_{n}}{8^{n}}+\frac {1}{8}$$

$$ここで\frac {a_{n}}{8^{n}}=b_{n},a_{1}=2 ⇔ b_{1}=\frac {1}{4}とすると$$

$$b_{n+1}=\frac {1}{2}b_{n}+\frac {1}{8}$$これは等比数列帰着型なので、

$$\begin{aligned}( b_{n+1}-\frac {1}{4}) =\frac {1}{2}( b_{n}-\frac {1}{4}) \\
b_{1}=\frac {1}{4}\end{aligned}$$

$$b_{n}-\frac {1}{4}=c_{n}とおくと、c_{n+1}=\frac {1}{2}c_{n},c_{1}=0$$

$$0=b_{n}-\frac {1}{4},b_{n}=\frac {1}{4}$$

$$\frac {1}{4}=\frac {a_{n}}{8^{n}}⇔ a_{n}=\frac {1}{4}× 8^{n}$$

$$従って一般項a_{n}=2× 8^{n-1}$$

逆数を取るタイプ/分数型漸化式の解き方

次は漸化式中に分数が有り、 その分母分子両方にAnが含まれているパターンです。

一般的にこのような場合は逆数を取ることで解決します。

実際に見て見ましょう。

$$a_{1}=5,a_{n+1}=\frac {a_{n}}{3a_{n}+5}の一般項を求めたい$$

$$逆数を取ると\begin{aligned}\frac {1}{an+1}=\frac {3a_{n}+5}{an}\\
\frac {1}{a_{n+1}}=3+\frac {5}{a_{n}}\end{aligned}$$

$$\frac {1}{a_{n}}=b_{n},b_{1}=\frac {1}{5}とおくと$$

$$b_{n+1}=3+5b_{n}$$

これは等比数列帰着型なので、

$$( b_{n+1}+\frac {3}{4}) =5( b_{n}+\frac {3}{4}) $$

$$( b_{n}+\frac {3}{4}) =c_{n},c_{1}=\frac {1}{5}+\frac {3}{4}=\frac {19}{20}として$$

$$c_{n+1}=5c_{n},c_{1}=\frac {19}{20}$$

$$\begin{aligned}c_{n}=( \frac {19}{20}) ( 5) ^{n-1}\\
b_{n}+\frac {3}{4}=( \frac {19}{20}) ( 5) ^{n-1}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}b_{n}=(\frac {19}{20}) (5) ^{n-1}-\frac {3}{4}\\
b_{n}=( \frac {1}{20}) \{ ( 19) ( 5) ^{n-1}-( 15)\} \end{aligned}$$

$$a_{n}=\frac {1}{b_{n}}$$だったので、逆数をとって

$$一般項a_{n}=\frac {20}{19( 5) ^{n-1}-15}となります。$$

まとめ

今回はn+1乗で両辺を割る方法と逆数を取る方法を学びました。

しかしやはり基本は等差/等比数列で、そこに帰着させる方法が異なっているだけです。

漸化式の解き方シリーズも終盤に差し掛かって来ました。次回は3項間漸化式の解き方を解説します。

→「漸化式の解き方(6)三項間漸化式の解き方(上)」を読む。

今回もご覧いただき有難うございました。

お役に立ちましたら、シェア&当サイト公式Twitterのフォローをお願いします!

数列の漸化式の解き方全12選の一覧へ戻る

質問・記事について・誤植・その他のお問い合わせはコメント欄又はお問い合わせページまでお願い致します。

Twitterでフォローしよう