数列漸化式の解き方第5回

 

今回は、式中にn乗が入った漸化式の解き方と分母分子にAnがある漸化式の解き方を解説します。しっかり解法をstockしましょう。

漸化式第五回の目次

・これまでの復習(等差/等比/階差型と等比帰着型)

・An+1=pAn+◯n (n乗を含む)漸化式

・ n乗を含むタイプの漸化式の解き方

・An+1=◯/An   (分母分子にAnがある型)の漸化式

・分数型の漸化式の解き方

・まとめ

これまでの復習

今回までで、等差数列/等比数列/階差数列型と、等比数列帰着型  

階差数列帰着型

SnとAnの関係を使ったタイプを学んで来ました。

今回はn乗を含む漸化式の解き方と分母分子にAnが入っているタイプの漸化式の解き方を解説していきます。

n乗を含むタイプの漸化式

A[n+1]=p An+◯ ^n型(n乗を含むタイプの漸化式の解き方を例題を通して見ていきましょう。

漸化式中にn乗が含まれるタイプでは、その数のn+1乗で両辺を割ってやると うまく行くことが多いです。

$$(例題1)a_{n+1}=4a_{n}+8^{n},a_{1}=2$$

$$例題1では8^nが有るので、8^(n +1)で両辺を割ってみます。$$

$$\frac {a_{n+1}}{8^{n+1}}=\frac {4a_{n}}{8^{n+1}}+\frac {8^{n}}{8^{n+1}}$$

$$\frac {a_{n+1}}{8^{n+1}}=\left( \frac {1}{2}\right) \frac {a_{n}}{8^{n}}+\frac {1}{8}$$

$$ここで\frac {a_{n}}{8^{n}}=b_{n},a_{1}=2\Leftrightarrow b_{1}=\frac {1}{4}とすると$$

$$b_{n+1}=\frac {1}{2}b_{n}+\frac {1}{8}これは等比数列帰着型なので$$

$$\begin{aligned}\left( b_{n+1}-\frac {1}{4}\right) =\frac {1}{2}\left( b_{n}-\frac {1}{4}\right) \\
b_{1}=\frac {1}{4}\end{aligned}$$

$$b_{n}-\frac {1}{4}=c_{n}とおくと$$

$$C_{n+1}=\frac {1}{2}Cn,C_{1}=0$$

$$0=b_{n}-\frac {1}{4},b_{n}=\frac {1}{4}$$

$$\frac {1}{4}=\frac {a_{n}}{8^{n}}\Leftrightarrow a_{n}=\frac {1}{4}\times 8^{n}$$

$$従って一般項a_{n}=2\times 8^{n-1}$$

逆数を取るタイプ/分数型の漸化式の解き方

次は漸化式中に分数が有り、 その分母分子両方にAnが含まれているパターンです。

一般的にこのような場合は逆数を取ることで解決します。

実際に見て見ましょう。

$$a_{1}=5,a_{n+1}=\frac {a_{n}}{3a_{n}+5}の一般項を求めたい$$

$$逆数を取ると\begin{aligned}\frac {1}{an+1}=\frac {3a_{n}+5}{an}\\
\frac {1}{a_{n+1}}=3+\frac {5}{a_{n}}\end{aligned}$$

$$\frac {1}{a_{n}}=b_{n},b_{1}=\frac {1}{5}とおくと$$

$$b_{n+1}=3+5b_{n}$$

$$これは等比数列帰着型なので、$$

$$\left( b_{n+1}+\frac {3}{4}\right) =5\left( b_{n}+\frac {3}{4}\right) $$

$$\left( b_{n}+\frac {3}{4}\right) =c_{n},c_{1}=\frac {1}{5}+\frac {3}{4}=\frac {19}{20}として$$

$$c_{n+1}=5c_{n},c_{1}=\frac {19}{20}$$

$$\begin{aligned}c_{n}=\left( \frac {19}{20}\right) \left( 5\right) ^{n-1}\\
b_{n}+\frac {3}{4}=\left( \frac {19}{20}\right) \left( 5\right) ^{n-1}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}b_{n}=\left( \frac {19}{20}\right) \left( 5\right) ^{n-1}-\frac {3}{4}\\
b_{n}=\left( \frac {1}{20}\right) \left\{ \left( 19\right) \left( 5\right) ^{n-1}-\left( 15\right) \right\} \end{aligned}$$

$$a_{n}=\frac {1}{b_{n}}だったので、逆数をとって$$

$$一般項a_{n}=\frac {20}{19\left( 5\right) ^{n-1}-15}となります。$$

まとめ

今回はn+1乗で両辺を割る方法と逆数を取る方法を学びました。しかしやはり基本は等差/等比数列で、そこに帰着させる方法が異なっているだけです。

漸化式の解き方シリーズも終盤に差し掛かって来ました。次回は3項間漸化式の解き方を解説します。

今回もご覧いただき有難うございました。

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