方程式・不等式の分野横断型(横割り)解き方まとめ

さまざまな方程式と不等式の解き方まとめ

＜この記事の内容＞：数学１から数学３（＋α）までの分野で、三角関数のところでは三角方程式、数３の積分法では積分方程式、と分野・単元ごとでくくられている『方程式・不等式』を、学年や単元に関係なく取り出して、解法・解説をまとめたページです。

＜記事のメリット＞：それぞれの分野で解き方を探したり、問題を解かなくても基本的な方程式や不等式はここにまとめているので便利です。

さらに、”共通した解法”などを発見できるので、（＝いわゆる『横割りのメリット』）効率的に勉強を進めることができます。

方程式と不等式(導入編)

方程式/不等式の意味から、解法の基本となる『因数分解の仕方』など、先に知っておくべき(必要な知識)を紹介しています。

方程式とは？（導入）

さて、これから様々な方程式や不等式の問題を見ていきますが、そもそも『方程式』と何か？をよく混同する人が多い『恒等式』と比較して解説しておきます。

方程式とは、例えば\(x^{2}=4\) のように、ある特定のxの値の時のみ（ここでは、x＝±2）成立する式のことを言います。

一方、『恒等式』とは、つね『恒』にひとしい『等しい』式という名の通り、どんなxでも成り立つ式の関係のことを言います。例：\((x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\)

この式はxにどんな値を代入しても成り立ちますね？

当たり前のことに感じるかもしれませんが、この「恒等式」の考え方を使う応用問題もたくさんあるので、覚えておいてください。

詳しくは＞＞「恒等式とは何か？基本から応用問題への利用法まで」＜＜

因数分解は必須！

方程式・不等式を解く際に因数分解が自由自在にできるのは必須条件です。

「因数分解をするための公式やコツ・たすき掛けを紹介」

方程式・不等式の解法まとめ(実践編)

ここから、実際に方程式・不等式の解き方(実践編)に入ります。

一次方程式（絶対値付き）、三角関数や指数関数などが入った方程式（これを”超越”方程式と言います）・不等式の記事、そして最後には数学IIIの発展〜大学数学の間に位置する『微分方程式のキソ』まで網羅しました。

絶対値付き方程式・不等式

絶対値がからんだ一次方程式や、絶対値付き関数のグラフと解の個数を主に解説しています。

「絶対値付きの一次方程式の解き方とグラフを利用した解の個数」

ガウス記号が入った方程式・2次不等式

絶対値とともに、苦手意識を持つ人が多いガウス記号を基礎から解説し、ガウス記号入りの方程式や2次不等式を解く方法まで紹介しました。

「ガウス記号の基礎と方程式、不等式への応用」

相反方程式/比例式

「相反方程式と比例式」では、解法がややテクニカルな式の求値問題・証明問題の解説をしています。

指数・対数方程式(数学2)

いよいよ、x以外の“関数”で構成された方程式に入ります。この記事では、指数関数と対数関数の基礎から、方程式の解き方まで紹介しています。

(例)：\(\log_{2}(x+2)+\log_{2}(x+5)=2\)

この項と、次の項の“指数・対数方程式・不等式”では、特に『真数条件』・『底の条件』が重要になるので、しっかりと身につけておきましょう。

「指数・対数の意味から指数・対数方程式の解法まで」

指数・対数不等式と相加・相乗平均

上の指数・対数方程式の不等式バージョンです。

それに加えて、指数方程式などと絡めて出題されることが多い、『相加・相乗平均』の意味と使いかた・融合問題の解法まで紹介しました。

「指数・対数不等式と相加・相乗平均の融合問題を解説」

三角方程式(数学1・2)

三角比：三角関数の知識や公式をつかって三角関数が入った方程式を解いていきます。

「三角方程式の解き方をわかりやすく解説」

（例）：\(\cos 2\theta-3\sin\theta-2=0 、(0≦\theta＜2\pi )\)

三角比の基礎については＞＞「〜三角比の意味から表・正弦余弦定理まで〜」＜＜

合わせて読みたい記事：三角関数の公式

三角方程式や、次の項で扱う三角関数の入った不等式では、三角関数の公式や相互関係を頻繁に利用する必要があります。

その記憶があいまいだと全く解けない場合もあるので、以下の記事で『三角比・三角関数の公式の一覧』と、単純な暗記ではない『導きかた』を解説することで、忘れてもその場で導出できるように説明した記事をまとめています。

「三角関数・三角比の公式の覚え方と導き方を全網羅！」

三角関数入りの不等式(数学2)

三角方程式の不等式versionです。特に『単位円』を上手く利用する事が大切です。

「三角関数が入った不等式の解法と単位円を使うコツ」

無理関数・分数関数が入った方程式・不等式（数学３）

\(y=\sqrt{x}\)の様な、いわゆる”無理”関数や、\(y=\frac{2}{x+3}\)といった分数関数がからむ方程式と不等式を、グラフを使って解く方法を「無理・分数関数の意味とグラフ〜不等式の解法」で解説しています。

積分方程式(数学2/3)

積分方程式とは、名前通り積分の形が入った方程式です。

「たった２種類の解法で解ける！積分方程式」

例：$$f(x)=\int ^{2}_{0}f(t) dt+x+1$$

上の様な式から”f(x)”を求める方法を紹介しています。

微分方程式(数学3+α)

微分方程式は、高校数学３で「積分法の応用の最後」で紹介されているくらいですが、

物理や化学になくてはならないものです。

ここでは、入試に出題される「変数分離型」の微分方程式を主に解説しています。

「微分方程式とは？意味と解き方・応用記事のまとめ」

（応用）コーシー＝シュワルツの不等式

以下の記事では大学範囲の数学（線形代数）について解説しているのですが、それに密接に関連し、かつ難関大志望者はぜひ知っておきたい『コーシー＝シュワルツの不等式』の証明＋ベクトルとの関係を記事の後半で紹介しています。

興味のある方は、後半部分だけでもご覧ください！

「計量(内積)空間とコーシー＝シュワルツの不等式の意味＋証明」

関連分野（ベクトル方程式など）の記事紹介

ベクトル分野では、様々な”ベクトル方程式”が登場します。これらを変形（成分表示）すると、「図形と方程式」で扱う直線や円、球面など色々な方程式を得ることができます。

「ベクトル方程式とは？」

「平面の方程式の求め方【空間ベクトルシリーズ】」

合わせて読みたい！ベクトルのまとめ

上記のベクトル方程式だけでなく、『コーシー＝シュワルツの不等式』など”方程式・不等式とベクトル分野が関連していることは少なくありません。以下の記事では、”ベクトルを０から解説した記事”をまとめています。

「ベクトルとは？意味や問題の解法など、知識０から最難関大入試レベルまで解説！」

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