微分方程式とその応用まとめページ

このページでは、高校数学Ⅲ「積分法の応用」から「微分方程式」について解説し、微分方程式を使って物理や化学の現象を説明している関連記事(コラム)をどんどんまとめています。

数学Ⅲの微積については別ページに詳しくまとめています。↓

数学Ⅲの微分・積分の重要公式・解法総まとめ

微分方程式とは?

微分方程式とは、関数方程式の一種です。

積分方程式が積分が入った方程式であったり、三角方程式が三角関数が入った方程式であるのと同じ様に、

微分方程式も方程式の中に微分の形(導関数)が入っているものの事です。(そのままです!)

最も有名なものはニュートンの運動方程式ではないでしょうか。

ma=F の式が有名ですが、加速度aは速度vを時間で微分したものです。$$a=\frac {dv}{dt}$$

 

更に速度vは変位xを時間で微分したものなので、$$v=\frac {dx}{dt}$$

以下の様に「微分」が入った式で表せます。

$$ma=F$$

$$m\frac {d^{2}x}{dt^{2}}=F$$

メインは「変数分離型の微分方程式」

さてこのサイトはあくまで高校範囲と +α迄の内容を紹介しているので、

微分方程式の中でも最も簡単=解きやすい【変数分離型】を使っている物をまとめています。

最も簡単と言っても最難関大入試で出題されるレベルです。

従って大学に入るまではこのページの範囲が理解出来れば必要十分です。

また、微分方程式を学ぶ事で入試対策だけでなく、

数学と物理、化学が密接に関わっていることがわかると言う利点があります。(むしろこちらがメインです)

是非、勉強に疲れた時などに関連記事を見てみて下さい。理系ならばきっと面白いと思う記事を集めました。

物理/化学への応用記事総まとめ

其の一:変数分離型の導入と空気抵抗を受ける雨粒の運動

はじめに変数分離型の微分方程式の導入し、運動方程式、そして空気抵抗を受ける雨粒の落下まで応用させた記事です

微分方程式の基礎と抵抗を受ける運動

其の二:運動方程式からエネルギー/運動量保存則を導きます

ma=F の運動方程式から、力学的エネルギー保存則と運動量保存則を導出する方法を解説しています。

力学的エネルギー保存則と運動量保存則を運動方程式から導く方法

其の三:半減期の式の導出(原子物理/理論化学)

高校物理の原子範囲や理論化学で出題される「半減期」の式の導き方と反応速度論との関係について学びます。

半減期」の式の導出と化学の反応速度

其の四:(やや発展)単振動を微分方程式であらわしています。

内容が少し高度なので、先に普通の単振動の記事(一応こちらでも微分を使ってx、v、aを計算する方法を紹介しています。)を読んでからの方が良いです。

※特に「0章ーα」からの「微分で全てが繋がる」から読んでみてください!

 

【先に読む】単振動をはじめから理解する

↓↓↓                                     ↓↓↓

【ハイレベル】単振動を微分方程式で表そう

 

現在、他にも色々な応用記事を用意しています!完成次第このページに更新情報をupします。

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