<因数分解の総まとめをこの1記事で>

数学の計算や、問題を解いていく上で「基本中の基本」となる『因数分解』ですが、

数Ⅲや数ⅡBで点数が取れないことの根本原因が、因数分解などの基礎事項であった、ということは非常に多いのです。

是非この記事をじっくり読んで、因数分解の基本から、そのほかの分野にも応用できる『4つの工夫』までしっかりと身につけて下さい。

因数分解の仕方・方針

まずは、基本公式から復習していきます。

因数分解の基本公式

今後数え切れないほど使う公式ばかりです。もう一度確認しておきましょう。

$$x^{2}+2ax+a^{2}=(x+a)^{2}$$

$$x^{2}-2ax+a^{2}=(x-a)^{2}$$

$$x^{3}+3ax^{2}+3a^{2}x+a^{3}=(x+a)^{3}$$

$$x^{3}-3ax^{2}+3a^{2}x-a^{3}=(x-a)^{3}$$

上の4つは二項定理で導くことが出来ます。

>>「二項定理とは?その仕組みとCを使う理由」を読む

$$x^{2}-a^{2}=(x+a)(x-a)$$

$$x^{3}+a^{3}=(x+a)(x^{2}-ax+a^{2})$$

$$x^{3}-a^{3}=(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})$$

たすき掛けの利用

基本公式をおさえたら、次はたすき掛けをみていきましょう。

襷(たすき)のように斜めに掛け合わせて、因数分解する式のかたちに戻るように計算するのがたすき掛けです。<図2>

因数分解とたすき掛け

<図2>上の例をつかってたすき掛けの手順を確認しておきましょう。

$$例)3x^{2}+5x+2 を因数分解せよ。$$

$$まず与式の3x^{2}+5x+2のx^{2}の係数を見ると「3」です。$$

$$ここで、(3x〜△)(x〜△)・・・*1$$

の形にしか因数分解できないことがわかるかと思います。

次に定数項の数は「2」なので、

$$x^{2}の時と同様に考えると、(◯〜2)(◯〜1)・・・*2$$

に因数分解されることになります。あとは、*1と*2を組み合わせて、

xの係数が「5」になるようにたすき掛けをすることで、

$$(3x+2)(x+1)になリます。$$

因数分解をする工夫<公式が使えない時>

ここからが本番です。以下の3つの工夫 +因数定理の利用は、因数分解を解くことだけでなく、

他のいろいろな分野の問題でも解決の糸口になる重要なものばかりです。

知らないものや、忘れているものがあればぜひ頭にインプットしておきましょう。

さらに、これらは単独で使うだけでなく、複数の工夫を組み合わせて使う場合があるので、よく練習しておく必要があります。

1:次数の低い文字でくくる

高次方程式や、複数の文字の式を因数分解する際に有効な手法です。

$$例1)a^{2}+ac+2ab+b^{2}+bc を因数分解せよ。$$

この式の中で、一番次数が低い文字は“c”です。

そこで、まずcでくくってみます。

$$c(a+b)+a^{2}+2ab+b^{2}$$

$$cが掛かっていない部分がちょうど(a+b)^{2}$$

に因数分解できるので、

$$与式=c(a+b)+(a+b)^{2}$$

$$次に、c(a+b)と(a+b)^{2}には共通の(a+b)$$

があるので、(a+b)でくくってあげると、

与式=(a+b)+{c+(a+b)}

よって、与式=(a+b)(a+b+c)と因数分解できます。

2:置き換えを行う

次数が大きい式で次数下げのために行うのはもちろん、三角方程式や指数・対数方程式でも頻繁に使う方法です。
$$x^{4}+2x^{2}+1を因数分解せよ。$$

$$ここで、x^{2}=tとおくと、$$
$$t^{2}+2t+1$$

$$ここで、t^{2}+2t+1は、(t+1)^{2}に因数分解出来ます。$$

$$最後にt=x^{2}であったので、tに代入すると(x^{2}+1)^{2}$$

$$よって、与式=(x^{2}+1)^{2}となります。$$

3:(二乗)ー(二乗)を無理やり作り出す

これは、先ほどの基本公式で紹介した、$$x^{2}-a^{2}=(x+a)(x-a)$$

のカタチに持ち込む方法です。

具体例を見た方が理解しやすいので、例2の式を使って解説します。

$$(例題2)x^{4}+4を因数分解せよ。$$

$$x^{4}+4がx^{4}+4x^{2}+4であれば(2)で$$

紹介したように因数分解できます。そういった場合には、“無理矢理”

$$x^{4}+4x^{2}+4を作り出してみます。$$

$$具体的には、(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}、$$

$$-4x^{2}の部分で帳尻を合わせます。$$

$$(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}=((x^{2}+2)-2x)(x^{2}+2+2x)$$

これをきれいな式にすると、

$$(与式)=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$$

となります。

因数定理を用いる(剰余の定理の特別な場合)

剰余の定理と因数定理について

$$f\left( x\right) =(xの式)で表される時、$$

$$f\left( x\right)を(x-α)で割った商をA(x)、あまりをBとすると、$$

$$f\left( x\right)は以下のように表せます。$$

$$f\left( x\right) =\left( x-\alpha \right) A\left( x\right) +B$$

(余りBは、わる式(xーα)よりも次数が低いので定数項となります。)

ここで、xにαを代入してみると、

$$f\left( \alpha \right) =\left( \alpha -\alpha \right) A\left( \alpha \right) +B$$

$$ここで、\left( \alpha -\alpha \right) A\left( \alpha \right)$$

の部分が0になるので、f( α) =B となります。

さらに、この余りBが0になる時を考えます。

つまり、(x-α)でf(x)が割り切れるならば、f(x)=(xの式)のxにαを代入すると、f(α)=0と言えるのです。

このことを応用してみます。

以下の例題4のように、式のxに適当な数字を代入し、0になるものを探していきます。

具体例

$$例4)x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x-2 を因数分解せよ。$$

これに±1,±2を入れていくと、x=2を代入した時に、

$$与式=2^{4}-2 \times 2^{3}+2^{2}-2-2=0 $$

となるので先ほど解説した因数定理より、この式は(x-2)を因数に持ちます。

ここから、式を(x-2)で割っていくと、

$$(x-2)(x^{3}+x+1)$$

と因数分解できます。

まとめと因数分解の整数問題・不定方程式への応用

・因数分解の基本公式と、二項定理をマスターする>>(参考):「二項定理の公式の意味とCを使う理由」<<

・因数分解を利用して、うまく整数問題(+不定方程式)を解くコツをまとめた記事を作成しました。

>>「整数問題の解法とコツ:因数分解と絞り込み利用型」<<

>>「不定方程式の解き方(因数分解利用編)」<<

・上で紹介した工夫+因数定理を類題を、『実際に手を動かして』出来るだけ多く解く事で身につける

特に数学Ⅲの微積分など、レベルが上がった問題で、思うように得点出来ない時は基本に立ち返る!

↑最重要ポイントです!↑

 

今回も最後までご覧いただき本当に有難うございました。

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