積分方程式の解き方

今回は積分方程式の第一回として積分方程式の2パターンを紹介し、

基礎的な例題を通してその解法について解説していきます。

積分方程式とは

積分方程式とは、f(x)の様な未知の関数

(下の例題1の式を見ても分かる様に、f(x)がどんな関数なのかは分かりません。)

が積分の中に入っているものを言います。

更に、これから解説する2パターンの方法でf(x)がどんな関数なのかを調べて、

f(x)の式を導く(見つける)事を「積分方程式を解く」という言い方をします。

$$\int ^{3}_{1}f(t) dt$$←のように積分の中に未知の関数fがあります。

微分方程式について。→「微分方程式の紹介と応用まとめ」を読む。

積分方程式2タイプとそれぞれの解法

積分方程式は、大きく2パターンに分けることができ、

各々解き方が異なるので、例題を通して紹介していきます。

(1):積分区間に変数が含まれないパターン

例題(1):

$$f(x)=\int ^{2}_{0}f(t) dt+x+1・・・【1】$$

【1】のf(x)を求めよ。

この問題のように、積分区間に変数(この方程式では変数=x)が含まれない場合は、

【方程式中の積分=k(kは定数)と置く】のが大原則です。

この原則に従って例題(1)を解いていきます。

$$f( x) =\int ^{2}_{0}f(t) dt+x+1の$$

$$\int ^{2}_{0}f(t) dt=kと置いて、$$

kを【1】式に代入すると、f(x) =k+x+1となります。

更に、この式の変数xにtを代入します。

f(t) =k+t+1・・・【2】

ここで先程置いた式、$$k=\int ^{2}_{0}f(t) dtの$$

f(t)に【2】を代入して右辺をtで積分すると、

$$k=[ \frac {t^{2}}{2}+kt+t] ^{2}_{0}$$

これを計算すると、

k=2+2k+2⇔ k=-4

ここで積分部分をkと置いた式、

f(x)=k+x+1にk=ー4を代入すると、

f(x) =-4+x+1⇔ f(x) =x-3、となって、f(x)を求めることが出来ました。

(2)積分区間に変数が含まれているパターン

こちらも例題を解きながら解説しますが、(1)に比べてワンランク難しくなっています。

(例題2ー1):

$$\int ^{x}_{2}f(t) dt=x^{3}+1$$を満たすf(x)を求めよ。

このタイプの積分方程式は、両辺を変数(ここではx)で微分すると上手く解くことが出来ます。

例題2の解説の前に、積分部分を微分する方法について解説しておきます。

この例題では積分区間の変数が“x”と簡単なものですが、

より複雑な“x2 +3x +3”の様に変数の式が積分区間に入っている場合もあります。

その様な場合でも、同様に変数で微分するのですが、

その際「合成関数の微分」に注意する必要があります。

注)合成関数の微分については右で詳しく解説しています。

苦手な人は先にcheckしておいてください→「合成関数の微分法」を読む。

積分区間に変数or変数の式が入っている場合の対処法

積分部分を微分する手順を解説していきます。

ここでは、分かりやすくするために色々と式変形していきますが、

実際に問題を解く時は一行目と最終行の2式だけ記述して計算しましょう。

以下に登場するg(x)やh(x)はxの関数という意味で、これは当然、g(x)=xやh(x)=2(定数)も含みます。

$$\int ^{g(x) }_{h(x) }f(t) dtをxで微分する$$

一旦積分してインテグラルを外してから微分します。

$$[ F(t)] ^{g(x) }_{h( x) }=F( g_{(x)}) -F( h(x)) $$

上の式の右辺を微分していくと、

$$\frac {d}{dx}(F(g_{(x)}) -F( h(x))) =$$

$$=f( g(x)) \cdot g'( x) -f(h(x)) \cdot h'(x)$$

合成関数の微分法より、(外の関数の微分)×(中の関数の微分)

よって、これらをまとめると

$$d/dx\int ^{g(x) }_{h(x)}f(t) dt=$$

$$f( g(x)) \cdot g'(x) -f(h(x)) \cdot h'(x)となります。$$

(解答解説2-1):解説に戻ります。

両辺を変数xで微分すると、

$$\int ^{x}_{2}f(t) dt=x^{3}+1$$

$$d/dx(\int ^{x}_{2}f(t) dt)=d/dx(x^{3}+1)$$

上で解説した様に計算すると、

$$f(x) × (x) '-f(2) × (2) '=3x^{2}・・・【3】$$

(x)'=1,と、(2)'=0より、【3】式の左辺はf(x)

右辺は3x2となるので、求めたいf(x)=3x2

従って、答え:f(x)=3x2

まとめと数3の微分・積分関連記事

この様に積分方程式は2パターンに分けることができ、

各々解き方も決まっているので見かけほどは難しくありません。

次回の積分方程式part2では、もう少し複雑な関数:数学Ⅲで扱う関数が入ったものを紹介します。

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今回もご覧いただき有難うございました。

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