三角関数が入った不等式の解き方まとめ

三角方程式の問題を解く方法と関連公式」の続編として、

等式=の代わりに、≧不等号が入った三角関数の不等式の解き方をまとめています。

三角関数を含む不等式とは

上述したように、三角方程式の不等式バージョンと考えてもらって構いません。

三角方程式は、θの値を求めればよかったのに対して、

不等式ではθの範囲を問われるので少しだけレベルアップします。

単位円を使って不等式を解く

三角関数を含む不等式では、三角方程式と同様に、

θを満たす単位円上に線を引いて値を求め、

角度の条件に気をつけながら《△π<θ<○π 》のような形で解答します。

ここでは実際に例題を見ながら解き方を身につけましょう。

三角関数の不等式の例題と解き方

以下の三角関数で表された不等式を解いて、条件を満たすθの値の範囲を求めよ。

ただし、0≦θ<2πとする。

(例題1)sinθが1/2以上の値をとるとき

(例題2)cosθが1/2以上の値をとるとき

(例題3)2cos2θー3sinθ-3≧0のとき

(例題4)cos2θ≦ーsinθ   のとき

(例題5)sinθ +√3cosθ≧0 をのとき

単位円と三角比・三角関数の復習

三角不等式を解く際も、いろいろな三角比・三角関数の公式や相互関係を利用するので

三角比・三角関数の公式の導出法と覚え方まとめ」を適宜利用してください。

三角不等式では、三角方程式よりもさらに単位円の重要性が増してきます。

sinθ=y

cosθ=x

三角比と単位円の定義

<単位円とsinθ・cosθ>

解答解説

解答1:sinと不等式

(解答1)問1はsinθ≧1/2の時のθを求めるので、

単位円とy=1/2の交点をしらべると、θ=π/6、5π/6。

sinθは1/2以上なので、図1で青く塗った部分が問1で問われている範囲です。

 

sinと三角不等式

<問1の単位円>

したがって、π/6≦θ≦5π/6・・・(答)

解答2:cosと不等式

(解答2)次に、cosθ≧1/2も同様に単位円を書いて同じく調べると

、x=1/2との交点θ=π/3、5π/3です。不等号が付いているので、

x≧1/2のところが求めるθの範囲です。

 

三角方程式cos≧1/2

<問2の単位円>

ここで、注意が必要な点は、はじめに条件としてθの範囲が決められている(0≦θ<2π)ので、

”5π/3≦θ≦7π/3”と答えてしまうとバツになります。

そこで、解答は、『0≦θ≦π/3』,『5π/3≦θ<2π』・・・(答)のように、分けて書くようにします。

解答3:相互関係&因数分解の利用

(解説3)条件の不等式は、2cos2θ-3sinθ-3≧0より、

sin2θ+cos2θ=1(相互関係)を使って次数の低いsinθに合わせます。

その後、たすき掛けをして<参考:「因数分解の解き方と工夫まとめ」>不等式を解いていきます。

2cos2θ-3sinθ-3≧0⇔(2-2sin2θ)-3sinθ-3≧0

不等号の向きに注意して、2sin2θ+3sinθ+1≦0因数分解をすると、

(2sinθ+1)(sinθ+1)≦0

よってsinθの範囲が、-1≦sinθ≦-1/2 と求まります。あとは以下の図よりθの範囲は、

 

三角比の相互関係を使う三角不等式

<問3の単位円>

7π/6≦θ≦11π/6・・・(答)

解答4:2倍角の公式の利用

(解答4)cos2θ≦-sinθ

ここでは、関数がサインとコサインでそろっておらず、

また角度も、θと2θが混ざってしまっているので、cosの2倍角の定理を用いて式変形をしていきます。

sinθに合わせるため、3種類あるcosの二倍角のうち『cos2θ=1ー2sin2θ』を使っていきます。

1ー2sin2θ+sinθ≦0 移項して、

2sin2θーsinθ−1≧0 因数分解すると、(2sinθ+1)(sinθー1)≧0

より、sinθは、1≦sinθ、-π/2≧sinθとなります。

ここで、sinθは−1から1までの値しかとれないので、1=sinθ,-π/2≧sinθ≧1。

以下の図より、

 

2倍角を使う三角不等式

<問4の単位円>

θ=π/2、7π/6≦θ≦11π/6・・・(答)

解答5:合成の利用

(解説5)この不等式も関数がそろっていません。

また、相互関係や倍角公式が使えないので、合成を使います。→「三角関数の合成の正体

sinθ+√3cosθ=2sin(θ+π/6)

2sin(θ+π/6)≧0 両辺を2で割って、sin(θ+π/6)≧0。

今回は、θが(θ+π/6)になっているので、0≦(θ+π/6)≦π。

θの範囲を求めるために、ーπ/6すると、ーπ/6≦θ≦5π/6、

問題文の条件(0≦θ<2π)より、

 

合成を使う三角不等式

<問5の単位円>

0≦θ≦5π/6、11π/6≦θ<2π・・・(答)となります。

三角方程式・不等式のまとめと三角関数の関連記事

・このように、三角関数を含む不等式(や方程式)では、相互関係や公式、因数分解などあらゆる知識を使ってsinやcosの範囲を決定し、単位円を利用してθを求めます。

・今回のパターン以外にも半角・3倍角を利用するものなど,

たくさんの種類があるのでぜひ多くの類題を解いて、素早く解けるようにしましょう。

三角比/三角関数の公式一覧まとめ

<方程式と不等式シリーズ>

以下の記事は、三角関数以外の方程式の解き方をまとめています。ぜひ参考にしてください。

2次関数と方程式の解

指数/対数方程式の解き方

積分方程式の解き方

微分方程式の解き方まとめ

今回も最後までごらんいただき有難うございました。

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