図形と方程式の総まとめページ

<このまとめの内容>:数学2で主に扱う『図形と方程式』の分野を中心にして、基礎知識から発展問題の解法、ベクトルや複素数平面を使った解説まで、幅広く記事を集めました。

タイトルにあるように、『難しい』と感じる人が多い分野です(特に『軌跡と領域』など)が、丁寧な解説と豊富なイラストを用いることで、なるべく理解しやすいようにしました。

また、基本となる重要公式は記事の初めでまとめているので簡単にチェックしておいてください!

必要な記事(苦手な分野を目次で探してみてください。)

(随時記事を追加中です)

図形と方程式入門と基本の公式まとめ

数学Aや、中学までの数学では『図形』の問題は基本的に「幾何的な解法」を用いて解くしかありませんでした。

(『補助線が思いつかなかった』り、「証明が上手くいかない」など苦手意識を持った人も多いと思います。)

数学2で学ぶ「図形と方程式」では、図形の問題を”数式(方程式)”を使って解いていきます。

したがって、比較的図形が苦手だった人も取り組みやすくなっているはずです。

基本公式の確認

ここでは、この分野で頻繁に使う公式などをまとめています。

直線の方程式3タイプ

・y=ax+b:これまで最も多く使ってきたタイプだと思います。

・ax+by+c=0:今後はこの形で直線を表すことが多くなります。

・傾きがわからず、通る二点(\(ここでは、(x_{0},y_{0})と(x_{1},y_{1})とします\))のみわかっている場合

→$$y-y_{0}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0})$$

直線(一般形)の平行条件・垂直条件

ax+by+c=0・・・直線1とする

dx+ey+f=0・・・直線2とする

・平行であるための条件はae-bd=0

・垂直であるための条件はad+be=0

もう一つの平行/垂直条件

y=mx+n・・・直線1’とする。

y=px+q・・・直線2’とする。

このカタチで直線が表されている場合には、

平行である条件:m=p

垂直である条件:m・p=-1 

2点間の距離の求め方

\(点P (x_{p},y_{p})と点Q(x_{q},y_{q}) の\)距離:$$|PQ|=\sqrt{(x_{p}-x_{q})^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}}$$

点と直線のキョリ公式

\(点:(x_{1},y_{1})と直線:ax+by+c=0 の距離公式\)

$$\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

内分・外分点・重心の公式

\(点 (x_{1},y_{1})と点(x_{2},y_{2}) の\)

$$内分:(\frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n},\frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n})$$

$$外分:(\frac{-nx_{1}+mx_{2}}{m-n},\frac{-ny_{1}+my_{2}}{m-n})$$

\(点 (x_{1},y_{1})と点(x_{2},y_{2})と点(x_{3},y_{3}) の\)重心の位置

$$(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$$

(円の方程式は、下の項でまとめました。)

円の2種類の表し方

円を一般形\(ax^{2}+bx+cy^{2}+dy+e=0\)
と\((x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}=r^{2}\)の2通り。

円の接線の公式

円の接線公式(一):【原点中心で半径rの円】上の点\((x_{1},y_{1})\)での接線の方程式は、

$$xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$$

公式(二):【中心が(a,b)で半径r】の円上の点\((x_{1},y_{1})\)の場合には、

$$(x_{1}- a)(x- a)+(y_{1}-b)(x-b)=r^{2}$$

・・・追加中

直線の方程式や三角形の問題

ここでは、先ほど確認した直線の式の応用や三角形について扱います。

内分点・外分点の位置と場所の探し方

内分はすぐに図示できるのに、(そして座標の計算は公式で求められるのに)、「外分点を図示する(場所を探す)時に迷ってしまう」そんな人へオススメです。

次の記事;「内分点・外分点と応用問題を徹底図解」を読めばもう(特に外分)・内分で悩むことは無いはずです。

参考:(重心の位置ベクトル)

ベクトルの分野ですが、内分/外分とともに重要な【重心】を位置ベクトルで表現する方法を「位置ベクトルと重心をイラストで解説」解説しています。

三角形が出来る条件とは

直線の方程式が3つ与えられた時、座標平面上に三角形を作ることができるための条件や、その面積の計算法などを解説しました。

三角形の成立・不成立条件と面積の計算法

円の方程式とその応用

ここでは、円の式と関係する記事をまとめています。

円の方程式と弦の長さ

ここ「円の方程式と切り取る”弦”の長さ(1)」では、初めにまとめた“円”を《方程式》をもちいて表す方法と、その応用問題を扱います。

参考:ベクトル方程式と円

詳しくはこの記事の最後(関連分野まとめ)で紹介していますが、「『ベクトル方程式』を使った円の表し方」も余裕があれば学んでおきましょう。

2円の位置関係

2つの円の中心間距離(=公式集で紹介した、二点間キョリの式で求めたもの)と、それぞれの半径の大きさによって円がどういった関係になるのかを「2つの円の位置関係と共通接線の調べ方」で紹介しました。

『束』の考え方と2交点を通る線の式

上記の記事の続編で、\((ax_{0}+by_{0}+c)+k(dx_{1}+ey_{1}+f)=0 \)の式が、《2つの円の交点を通る》直線や曲線の式である理由や、その応用問題などを「”束”を使って【交点を通る直線や円の式】を表す方法」で解説しました。

軌跡と領域~0から最難関大レベル(通過領域)まで~

図形と方程式の中でも、最も難しい範囲で、なおかつ、特に『領域の図示』・『通過領域』などは文理問わず頻出です。

最終的には、難関大の通過領域などの問題が自力で解けるように、その基礎から紹介していきます。

軌跡のキホン(1)

軌跡とはなんなのか?を「軌跡を0から二段階の問題で理解する!」←の記事で解説しました。

パラメーターと軌跡(2)

媒介変数を消すタイプの軌跡の求め方」について、左の記事で紹介しています。

アポロニウスの円(複素平面との融合)

複素平面の分野と融合していますが、軌跡の一つである「アポロニウスの円について」紹介しました。

領域とは?第1回

領域とは一体どういうものなのか、キソの基礎から「領域シリーズ(1):様々な不等式・図形と領域」で解説しています。

線形計画法(領域2)

領域の応用と線形計画法(条件を満たす最大・最小値の求め方)」:領域を使って、2変数関数などの最大値・最小値を求める際に有効な道具:線形計画法を紹介し、定着させます。

 

【軌跡・領域分野を現在追加作成中です。】

『図形と方程式』に関連する単元のまとめ一覧

図形と方程式と関係が深く、これまでに紹介した記事にもたびたび登場している『重要単元』をあらためてまとめておきます。

ベクトル

図形の問題を式で解いていくもう一つの重要分野『ベクトル』。

『点と距離の公式の証明』など、図形と方程式の分野とも密接に関係します。

文理を問わず数学を学ぶにあたって、絶対に落とせない分野です。

これまでの『数(スカラー)』と勝手が違うので苦手な人が多いですが、こちらのまとめで→「ベクトルとは?0から最難関大レベルまで導く解法・解説まとめ」、必ず理解できるよう順序立てて解説してます。

複素平面

複素数平面は数学3で扱うので、理系選択の人しか一般的に習いません。

が、ベクトルと同様に、図形問題を解くにあたって強力な武器となります。「複素数平面の基礎から応用問題の解法まで

三角比・三角関数

図形と方程式分野では、特に三角関数の知識を使うことがあるので、「三角比・三角関数の公式の一覧(覚えず導く!)」左の記事で、あやふやな公式があれば見直して、しっかりと導くことができるようにしておきましょう。

 

今回も最後までご覧いただき、有難うございました。

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