位置ベクトルとは?ベクトル入門第3回

 

<この記事の内容>:『位置ベクトルがわからない・・・』、『普通のベクトルとどう違うの?』、『位置ベクトルと“点”の関係で混乱している』といった方のために、0から位置ベクトルを解説していきます。

また、全く初めてベクトルに触れる方は「第一回ベクトル入門(1)」←このリンクを先に読んでおいてください。

位置ベクトルって何?

これはベクトル方程式って何?と共にベクトルで苦手意識を持つ人が多い分野です。

(ベクトル方程式は→「ベクトル方程式とは?イラストで解説」をご覧下さい!)

どちらもイメージがしにくい為に、あいまいなままにしてしまう人が多いです。

が、今回扱う位置ベクトルは一度理解すると非常にシンプルです。

位置ベクトルの正体

ベクトルは、”長さ”が決まっていて、”向きを持つ”ものでした。

すなわち、『ベクトル=有向線分』なんだ!という解説を第一回でしました。

(危うい人は第一回「ベクトルとは?はじめから教えます!入門第1回」へ・・・)

ということは、始点(基準点)を決めてしまうと、そのベクトルの終点(矢印の先)も自動的に決定されます。

座標平面上の点とベクトル

これまで、座標平面(xy平面)で点の位置を表そうとする時には、原点(0,0)を基準にして、点P(3,5)の様に表示をしていました。("図形と方程式"の範囲)

これをベクトルで表したのが位置ベクトルの考え方といえます。

まず、基準とする点Oを決めます。

(点Oの場所はどこにとっても良いですが、原点に点Oを置く事が多いです。)

そして、平面上の点Aに対して\(\overrightarrow{OA}を\vec{a}とします。\)

位置ベクトルは点では無い

『位置』ベクトルと『点』の違いと注意点

 

このとき、上に書いた様に始点は点O、ベクトルは向きと長さが決まっているので、

点Aへのベクトル\(\vec{a}\)は一通りしかないですし、その逆を言えば、\(\vec{a}\)先にある点はAしかありません

この様に、ベクトル\(\vec{a}\)と点Aは1対1に対応します

そこで、\(\vec{a}\)の事を『点Aの位置ベクトル』といい、A(\(\vec{a}\))で表すことにしました。

ただし、あくまでも基準点からある点(ここでは点A)を“ベクトル”で示したものなので、”位置ベクトル=点”な訳ではありません。(ここで引っかかりやすいので要注意です。)

内分・外分点の位置ベクトル

さて、何となくでも『位置ベクトル』の意味がわかってきたでしょうか?

ここからは、内分点・外分点の位置ベクトルについて見ていきます。

図形と方程式や、複素数平面での内分点・外分点は、「内分・外分の公式と図示の仕方」で解説しています。あわせて参考にしてください。

内分点・外分点の公式

 

次の図のような、三角形ABCの辺BCを『m:n』に内分するとき、

$$\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$

 

同様に、『p:q』に「外分」するときの公式は、

$$\frac{-q\vec{a}+q\vec{b}}{p-q}$$

重心の位置ベクトル

次は《重心の位置ベクトル》についてです。

重心の位置ベクトルについては、

・基準点を三角形ABCの外側の点Oに置いた場合(一)と

・混乱しやすい、基準点を点A(や、B、Cなど三角形の頂点のいずれか)に置いた場合(二)

の2通りを解説します。

三角形の外側を基準にする(一)

図のように、点Oを外部に置いて三角形ABCの重心G\(\vec{g}\)を位置ベクトルで表すと

\(\vec{g}\)

\(=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\)

よって

$$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$

位置ベクトルを使った重心の表し方その1

 

重心の位置〃(二)

上でも書いたように、三角形の頂点のいずれかを基準点にした場合は要注意です。

こちらも以下の図を見ながら解説すると、重心:点Gへの基準点Aからの位置『ベクトル』は、

\(\vec{g}\)

\(=\frac{\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\)

よって、

$$\vec{g}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$$

と表せます。

もし、(”点”として位置ベクトルを捉えてしまうと、\(=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}\)このような式を見たときに??となってしまいます。)

間違えやすい重心の位置ベクトル(始点を頂点に置いた時)

 

位置ベクトルを使う理由(の一つ)

別に位置ベクトルなどを持ち出さなくても、図形と方程式でやった様に、座標を(x、y)で表して問題をといて行けば良い様に思えます。

しかし、図形と方程式ではxyの直交座標を使っているので、斜めの線や三角形、五角形などx軸/y軸に平行でない図形の問題を解こうとすると、一気に大変になります。

(例えば、三角形の斜めの辺に垂直な線を求めようとすると、まず斜めの辺の方程式を計算して、【その傾き・垂直な線の傾き=-1】、そして切片をを求めなければいけない事になります。)

ところがベクトルは特にxyの軸にしばられることなく、計算が楽になるような《斜めのベクトル》でも使うことができます。

ベクトルの分解

今回はもう一点、ベクトルの分解について紹介しておきます。

座標上に点O(基準点)、点A、点Bがある時、ベクトルを使って$$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$$ とかけます。

なぜなら、点Aから点Bへ向かう方法としては、直接点Aから点Bへ向かう道順・・・(三)と、

いったん点Aから点Oへ逆向きに進み・・・(四-1)、点Oから点Bへ向かう道順・・・(四-2)があり、

(四-1):AからOへは\(-\vec{a}\)(aベクトルの”逆ベクトル”)、

(四-2):OからBへは\(\vec{b}\)と進めるからです。

そしてーaベクトルは\(-\overrightarrow{OA}\)、bベクトルは\(\overrightarrow{OB}\)なので、\(\overrightarrow{AB}\)=\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)と書くことができます。

ベクトルの分解

つまりOを基準に考えると、ベクトルABは『後(B)ー前(A)』に分解できるという事です。

この”ベクトルの分解”はベクトルの幅広い分野で非常に頻繁に使うので、確実に使えるようになっておいて下さい。

位置ベクトルまとめと関連記事へ

いかがでしたか?「位置ベクトル」については、まだ今の段階ではまだ「漠然とした」理解かも知れません。

が、いろいろな問題を解き、そのたびに使っていくと自然に慣れてくるので、どんどん演習用の問題を解いていって下さい。

ある程度理解できたと思ったら、

問題を解いてみる。

→20分くらい考えても分からなければ、解答を見て真似をする。

→しばらく時間をおいて、何も見ずにもう一度解いてみる。

という流れを繰り返すことで、もっとも効率よく苦手分野を克服することが可能です。

ベクトルまとめ記事へ

ベクトルの解説記事のまとめは→ベクトルとは?ゼロから始めて最難関レベルまで!徹底解説9選」からご覧いただけます!

 

今回も最後までご覧いただきまして、有難うございました。

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