軌跡(1):その意味と基本問題の解法

<この記事の内容>:苦手意識を持つ人が非常に多い『軌跡』の基本的な意味や、図示の仕方を学ぶために、2段階の例題を使ってスムーズに理解できるよう解説しました。

2019/08/07(new!):軌跡第二回を作成しました。

軌跡の理解

ここでは、軌跡がどういうものなのか?を理解するための準備問題を紹介し、解いていきます。

導入問題

導入問題1:いまxy座標上に、点A(-3,1)と点B(5,9)がある。

この2つの点と等距離で、なおかつx軸上にある点Pの座標を求めよ。

少し(実際に図をかいて)考えてみてください。

解答解説

さて、以下のような図がかけたでしょうか。

次に行うことは、未知の点Pの座標のうち、わかっていないx座標を適当な文字でおいてあげることです。

(y座標は『x軸上にある』ということから”0”であることが元々わかっています)

ここで、点P(p,0)とおき、問題文の条件より、|AP|=|BP|であることから『三平方の定理』を用います。

点Pの座標(軌跡の導入問題)

 

つまり、「赤色の点線の大きさ=青色の点線の大きさ」であればいいので、計算を進めると・・・

例題1:二点から等距離でx軸上にある点P

(ここでは、二乗のまま計算を進めます。つまり\(|AP|^{2}=|BP|^{2}\))

$$BP^{2}=(5-p)^{2}+9^{2}$$,$$AP^{2}=(p-(-3))^{2}+1^{2}$$

この2つの値が等しい=等距離なので、展開して整理すると

\(p^{2}+6p+10=81+p^{2}-10p+25\)

\(16p=96\)

\(p=6\)

したがって、点Pの座標は(6,0)・・・(答)

軌跡:”条件を満たす”全ての点の集まり

上の導入問題では、点Pが『x軸上にある』という条件があったため、座標が1つに定まりました。

では、その条件を取り除いた場合、点Pはどのように表すことができるのでしょうか?

実際に問題を解きながら、考えていきましょう。

軌跡:導入問題2

導入問題1と同様に点A、点Bを定めた。

このとき、『それぞれの点から等距離である』という条件を満たす点Pはどのような軌跡を描くか。また、その式を求めよ。

解答・解説と軌跡の図示

さて、この問題2では”y座標の条件”、つまり『x軸上にある』という制限がなくなってしまいました。

では、実際に\(|AP|=|BP|\)を満たす様々な”点P”を座標上に描いてみます。

 

 

軌跡へ(例題2)

 

すると、上の黄色の点のように、

条件を満たす点Pは無数にあること

・その点の集合は『直線』になりそうであること(参考:下図)

が分かります。

 

等距離の無数の点が描く軌跡(例題2)

 

では、ここから実際に点Pの軌跡の方程式の求め方を紹介していきます。

step1:点Pの座標を(x,y)とおく

とりあえず、点Pの具体的な座標はわからないので(x、y)とします。

step2:条件式|AP|=|BP|に代入

次に、|AP|=|BP|より、先ほどと同じように(x、y)座標を使って|AP|,|BP|を計算し=で結びます。

\(\sqrt{(x-(-3))^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{(5-x)^{2}+(9-y)^{2}}\)

両辺>0より、二乗して

$$(左辺)=x^{2}+6x+9+y^{2}-2y+1$$

$$(右辺)=x^{2}-10x+25+y^{2}-18y+81$$

step3:式を整理する→答

(左辺)=(右辺)より、これを整理すると、

$$6x-2y+10=-10x-18y+106$$

$$よって、y=-x+6\cdots (答)$$

つまり、この点Pの軌跡は『傾きが「−1」でy切片が「6」の直線である』ことが分かりました。

まとめと続編へ

・条件を与えられた時、それを満たす点が無数にあるならば上図のように『線』や『曲線』を描きます。(=軌跡)

・これからも様々な軌跡の問題や、二次曲線・複素数平面などの、【図形と方程式】以外の分野との融合問題を追加していきます。

軌跡との融合分野

以下の記事では、条件が1:1ではないときの軌跡について扱っています。

複素数平面(数学3)での軌跡:アポロニウスの円とは

二次曲線(1):円錐と放物線

図形と方程式の関連記事一覧

軌跡の続編

第一回:「今ココです」

>>第二回:「媒介変数(パラメータ)の消去を行う軌跡の問題(入門)

【領域】についてのシリーズは次のリンクよりご覧下さい。

軌跡と領域シリーズ(領域1)領域の意味と具体例をイラストで解説!

領域2:不等式で表された条件を満たす値(線形計画法)の問題と解法

 

図形と方程式の解法・解説記事総まとめ

 

今回も最後までご覧いただきまして、ありがとうございました。

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