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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

2交点を通る直線や曲線の式(図形と方程式3)

<この記事の内容>:円と円の交点を通る『直線や曲線・円の式』が、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)(kは実数で文字は何でも構いません)で表すことができる”理由”と、習得用の例題を通して”束(そく)”と呼ばれるこれらの式を学びます。

<関連する記事>:「図形と方程式1:円の式と弦の長さ」と「図形と方程式2:2つの円の共通接線と位置関係」をできれば先に確認しておいてください(特にこの単元が苦手な人)。

なお、記事の最後にも同時に読んでおきたい記事をまとめています。

円の2交点を通る直線と曲線

まずはじめに、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)が成り立つことを示し、直線になる場合の解説→定着用問題の順に紹介していきます。

交点を通る線の式が成り立つ理由

ここでは、f(x,y)=(円の方程式)かつ、g(x,y)=(円の方程式)の場合を例にします。

以下の図のように、f(x,y)=で表される円の上にある点の座標をf(x,y)に代入すると0となります。

円上の点と方程式に代入した時の値

上の図のように、\(x^{2}+y^{2}-4=0\)の円上の点\(1,\sqrt{3}\)を代入すると\(1^{2}+(\sqrt{3})^{2}-4=0\)となります。

そして、2つの円の交点は当然それぞれの円上にあるので、座標を代入すると以下のように\(f(x,y)=0,g(x,y)=0\)であることが言えます。

2つの円の交点とそれを方程式に代入した結果

ここで、もう一度問題の式を見てみます。$$f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0$$

この式が”kの値にかかわらず”『2交点を通る全ての直線/曲線(但し、g(x,y)=0は除く)を表す』理由は、交点の座標を代入した時

以下のように『f(x,y)=0,g(x,y)=0』となり、\(0+k \times 0=0\)が成立するためなのです。

束の式とkの値にかかわらず成り立つ理由

具体例で理解を深める/直線である為の条件

さて、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)の仕組みが何となく理解出来てきたでしょうか?

実際に問題を解いてみないとピンと来ない人もいるかと思うので、例題を使って定着させていきましょう。

(定着用例題)

:いま、xy座標平面上に\(x^{2}+y^{2}=4で表される円A\)と\((x-3)^{2}+(y-3)^{2}=9で表す事が出来る円B\)が存在する。

(1):この時円Aと円Bの交点を通る式を文字kを使ってあらわし、

(2):式が直線であるためのkの条件と、その直線の方程式を答えよ。

・・・

(例題解説)

:この問題はただ単に上の式のf(x,y),g(x,y)を具体的な円の方程式に当てはめるだけです。

(1):従って、\(x^{2}+y^{2}-4+k(x^{2}-6x+9+y^{2}-6y+9-9)=0\):円Bは一般形に展開しています。

もう少し式を整理して、\(x^{2}+y^{2}-4+k(x^{2}-6x+y^{2}-6y+9)=0\)・・・(答)

直線であるための”条件”

(2):(1)の式を(※)とすると、(※)が直線を表すときはどんな時でしょうか?

一般に直線の方程式は、\(ax+by+c=0\)のようになるので、(※)をこの形に持っていくことを考えます。

すなわち、不要な\(”x^{2}やy^{2}”\)を取りのぞけば良い事がわかります。

従って、 (※)のk=-1とすることでうまく二乗の部分だけが打ち消されます。

→\(x^{2}+y^{2}-4+(-1)\cdot (x^{2}-6x+y^{2}-6y+9)=0\)

→\(-4+6x+6y-9=0\)

→\(6x+6y-13=0\)が円A,円Bの交点を通る直線の方程式で、k=-1・・・(答)となります。

交点を通る直線/曲線(束:そく)の考え方のまとめ

今回扱った、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)の式は”円と円”だけでなく、

・”円と曲線”や

・”曲線どうし”など、

様々な交点を通る直線・曲線の方程式を表します。

この記事で基本的な仕組みと例を身につけたら、ぜひ問題集などを使って定着させてみてください。

図形と方程式シリーズと関連分野の記事一覧

〜図形と方程式シリーズ〜

>>シリーズ総まとめページ『図形と方程式の解法/解説記事のまとめ・公式集』<<

第一回:「円の方程式と直線が切り取る弦の長さ

第二回:「2つの円の共通接線と位置関係

第三回:「今ココです」

第四回:「軌跡と領域:0から学ぶ!軌跡の仕組み

〜関連分野〜

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