2交点を通る直線や曲線の式(図形と方程式3)

<この記事の内容>:円と円の交点を通る『直線や曲線・円の式』が、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)(kは実数で文字は何でも構いません)で表すことができる”理由”と、習得用の例題を通して”束(そく)”と呼ばれるこれらの式を学びます。

<関連する記事>:「図形と方程式1:円の式と弦の長さ」と「図形と方程式2:2つの円の共通接線と位置関係」をできれば先に確認しておいてください(特にこの単元が苦手な人)。

なお、記事の最後にも同時に読んでおきたい記事をまとめています。

円の2交点を通る直線と曲線

まずはじめに、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)が成り立つことを示し、直線になる場合の解説→定着用問題の順に紹介していきます。

交点を通る線の式が成り立つ理由

ここでは、f(x,y)=(円の方程式)かつ、g(x,y)=(円の方程式)の場合を例にします。

以下の図のように、f(x,y)=で表される円の上にある点の座標をf(x,y)に代入すると0となります。

円上の点と方程式に代入した時の値

上の図のように、\(x^{2}+y^{2}-4=0\)の円上の点\(1,\sqrt{3}\)を代入すると\(1^{2}+(\sqrt{3})^{2}-4=0\)となります。

そして、2つの円の交点は当然それぞれの円上にあるので、座標を代入すると以下のように\(f(x,y)=0,g(x,y)=0\)であることが言えます。

2つの円の交点とそれを方程式に代入した結果

ここで、もう一度問題の式を見てみます。$$f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0$$

この式が”kの値にかかわらず”『2交点を通る全ての直線/曲線を表す』理由は、交点の座標を代入した時

以下のように『f(x,y)=0,g(x,y)=0』となり、\(0+k \times 0=0\)が成立するためなのです。

束の式とkの値にかかわらず成り立つ理由

具体例で理解を深める/直線である為の条件

さて、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)の仕組みが何となく理解出来てきたでしょうか?

実際に問題を解いてみないとピンと来ない人もいるかと思うので、例題を使って定着させていきましょう。

(定着用例題)

:いま、xy座標平面上に\(x^{2}+y^{2}=4で表される円A\)と\((x-3)^{2}+(y-3)^{2}=9で表す事が出来る円B\)が存在する。

(1):この時円Aと円Bの交点を通る式を文字kを使ってあらわし、

(2):式が直線であるためのkの条件と、その直線の方程式を答えよ。

・・・

(例題解説)

:この問題はただ単に上の式のf(x,y),g(x,y)を具体的な円の方程式に当てはめるだけです。

(1):従って、\(x^{2}+y^{2}-4+k(x^{2}-6x+9+y^{2}-6y+9-9)=0\):円Bは一般形に展開しています。

もう少し式を整理して、\(x^{2}+y^{2}-4+k(x^{2}-6x+y^{2}-6y+9)=0\)・・・(答)

直線であるための”条件”

(2):(1)の式を(※)とすると、(※)が直線を表すときはどんな時でしょうか?

一般に直線の方程式は、\(ax+by+c=0\)のようになるので、(※)をこの形に持っていくことを考えます。

すなわち、不要な\(”x^{2}やy^{2}”\)を取りのぞけば良い事がわかります。

従って、 (※)のk=-1とすることでうまく二乗の部分だけが打ち消されます。

→\(x^{2}+y^{2}-4+(-1)\cdot (x^{2}-6x+y^{2}-6y+9)=0\)

→\(-4+6x+6y-9=0\)

→\(6x+6y-13=0\)が円A,円Bの交点を通る直線の方程式で、k=-1・・・(答)となります。

交点を通る直線/曲線のまとめと次回の内容へ

今回扱った、\(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)の式は”円と円”だけでなく、

・”円と曲線”や

・”曲線どうし”など、

様々な交点を通る直線・曲線の方程式を表します。

この記事で基本的な仕組みと例を身につけたら、ぜひ問題集などを使って定着させてみてください。

図形と方程式シリーズと関連分野の記事一覧

〜図形と方程式シリーズ〜

>>シリーズ総まとめページ『図形と方程式の解法/解説記事のまとめ・公式集』<<

第一回:「円の方程式と直線が切り取る弦の長さ

第二回:「2つの円の共通接線と位置関係

第三回:「今ココです」

第四回:「軌跡と領域:0から学ぶ!軌跡の仕組み

〜関連分野〜

ベクトル

ベクトルをゼロから応用まで解説!まとめページ

複素数平面

複素数平面とは?シリーズ一覧

 

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