行列の割り算と逆行列

今回は、線形代数学入門の第三回として、行列の割り算を普通の数と対応させて紹介していきます。

その過程で、「逆行列」や「行列式」、「正則行列」などを解説します。

・このシリーズは、行列(線形代数)を0から大学での本格的な線形代数学への橋渡しをするものです。

以前の記事を読んでいない方は、先に

・「線形代数学入門(1):線形代数とは?そして行列の足し算/引き算

・「線形代数学入門(2):行列同士の掛け算の手順とルール

をご覧頂くと理解しやすいです。

行列の割り算と逆行列

さて、いきなり結論から言うと、行列にはいわゆる「割り算」は存在しません。

しかしながら、その代わりに「逆行列」と呼ばれるものが存在します。

実数と行列を対応して考える

<図1>の様に、対応しているのです。

逆行列と逆数の対応図

<図1>

例えば、実数を7で割ることと、

7の逆数である$$\frac{1}{7}$$を掛けることは同じ事です。

それと同様の考え方をすれば、「行列を割り算したい」→「その行列の逆行列を掛ければ良い」となります。

逆行列の求め方と求まらない場合

では、その逆行列は常に求まるのでしょうか?また、どのようにして逆行列を計算するのかここから解説していきます。

逆行列は存在しない事もある

結論が先になりますが、逆行列は常に存在するわけではありません。

実数の時を思い出してみると、例えば0の逆数を考えてみます。逆数$$\frac{1}{0}$$は存在しませんね?。

逆行列と行列式

ここでは2× 2 の2行2列の行列Aの逆行列を求める式を紹介します。

$$行列A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$$

とする時、

$$逆行列A^{-1}=\frac {1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}$$

で計算できます。

$$この時\frac{1}{ad-bc}の部分が\frac{1}{0}になる$$

ならば、逆行列は存在しません。(先述した0の逆数が存在しないことと同様です)

行列式とその表記法

この、$$\frac{1}{ad-bc}$$の分母の部分である“ad-bc”には名前が付いており、「行列式」と呼ばれます。

つまり、行列式:ad-bc=0ならば逆行列は存在せず、

ad-bc≠0ならば逆行列A ^{-1}は存在することになります。

行列式は2×2に限らず、3×3、・・・と存在し、

線形代数において非常に大切なものなので、詳細については別の記事で詳しく取り上げます。

今はとりあえず名前と計算式だけ理解しておいてください。

正則行列と特異行列

また、逆行列が存在する正方行列(行数と列数が同じ行列詳しくは≫「行列同士の掛け算の順序」)のことを「正則行列」と言います。

一方で、上記のように行列式ad-bcが0である=逆行列が存在しない正方行列のことは「特異行列」と呼ばれます。

逆行列を使って未知の行列を求める。

それぞれ2×2の正方行列A、B、Cについて、AB=Cが成立しており、かつAとCの成分が分かっている時に、行列Bを求める方法を考えてみます。

実数の場合は、再掲する以下の図2のように逆数を両辺にかける事で求めることができました。

逆行列と逆数の対応図

<図2>

行列も同様に考えて、AB=Cの両辺にAの逆行列を掛けてあげることで

$$A^{-1}AB=CA^{-1}⇔EB=CA^{-1}と計算出来ます。$$

未知の行列を求めてみる

実際に問題を通して解法の流れを習得しましょう。

$$\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & 1
\end{pmatrix}の時、2\times 2 の行列Bを求めよ$$

手順1:左辺のBに掛かっている行列をAとして、その逆行列を求める。

$$\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix}を行列Aとして、その逆行列A^{-1}を求める。$$

(Aとしているのは便宜上です)

$$A^{-1}は、上記の「逆行列の求め方」より、$$

$$A^{-1}=\frac {1}{3\times 2-5\times 1}\begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}$$

$$よって、A^{-1}=\begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}$$

 

手順2:両辺にA^{-1}を順番に注意して掛ける

$$(左辺)はA^{-1}ABと左側からかけているので、(右辺)も左から掛ける。$$

$$(左辺)=\begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix}B$$

$$(右辺)=\begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & 1
\end{pmatrix}$$

手順3:AA^{-1}=Eと「単位行列の特徴」を利用する。

単位行列の特徴の一つである、「どんな行列との積も、掛けた行列になる」ことを利用します。

(これは、実数の世界で、「1」をどんな数と掛け合わせても、掛け合わせた数になることと同様です。)

$$1\times 5=5 のように、E *A=A となる。$$

$$\begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix}=$$

$$\begin{pmatrix}
2・ 3+\left( -5\right) ・ 1 & 2・ 5+\left( -5\right) ・ 2 \\
\left( -1\right) ・ 3+3・ 1 & \left( -1\right) ・ 5+3・2
\end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}と確かに単位行列になっています。$$

$$EB=\begin{pmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & 1
\end{pmatrix}$$

$$B=\begin{pmatrix}
2・ 4+\left( -5\right) ・ 2 & 2・ 5+\left( -5\right) ・ 1 \\
-1・ 4+3・ 2 & \left( -1\right) ・ 5+3・ 1
\end{pmatrix}$$

を計算すると、

$$行列B=\begin{pmatrix}
-2 & 5 \\
2 & -2
\end{pmatrix}と求まります。$$

手順4:検算をしてみる。

本当にBが正しいのか、検算をしてみましょう。

$$(左辺)=\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2 & 5 \\
2 & -2
\end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}
3・ \left( -2\right) +5・ 2 & 3・ 5+5・ \left( -2\right) \\
1・ \left( -2\right) +2・ 2 & 1・ 5+2・ \left( -2\right)
\end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & 1
\end{pmatrix}$$

元の式の右辺の行列と同じになったので、確かに計算が正しいことがわかりました。

逆行列のまとめと次回(一次変換)へ

・逆行列は、元の行列と掛け合わせて単位行列Eになるもの

・逆行列が常に存在するわけではなく、行列式=0の時は存在しない

・次回は、今回までの知識を使って「一次変換」と言われる分野を初めから見ていきます。

線形代数学入門シリーズ一覧

 

>>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<

・第一回:「線形代数入門1:行列の意味と演算

・第二回:「線形代数入門2:行列同士の積

・第三回:「今ココです」

・第四回:「一次変換とは?意味と仕組みを解説

・第五回:「固有値と固有ベクトルの求め方&その意味

(NEW!)

・第六回:「対角化/対角行列の意味と手順をわかりやすく解説!行列のn乗への応用も

 

 

今回も最後までご覧いただき本当に有難うございました。

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