行列の固有値と固有ベクトル

線形代数入門第5回

前回「線形代数入門(4):一次変換の意味と実践」に引き続き、今回は「行列の固有値」と「固有ベクトル」の意味と求め方について詳しく解説していきます。

(これまでの線形代数入門シリーズは、以下のリンクよりご覧頂けます。)

>>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<

行列の固有値と固有ベクトル

固有値(λで表されるスカラー)、固有ベクトルは、のちに学ぶ「対角化」やそれを応用した行列のべき乗をはじめ、線形代数学に必須です。

この記事では、最も単純な2行2列の実行列のλと固有ベクトルを求めていきます。

行列の固有値λ・固有ベクトルAの定義と目的

正方行列Aと、零ベクトルでないベクトル(x,y)、そしてスカラー「λ」の間に

$$A\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=λ\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$$

が成立する時、ベクトル

$$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$$

を「固有ベクトル」、スカラーλを「固有値」といいます。

これだけでは、何をしているのかわからないと思うので、実際に例を使って解説していきます。

ちなみに、この固有値と固有ベクトルを求める目的は、主に「対角化」と呼ばれる正方行列を「対角行列」にするときに固有値・固有ベクトルが必要になるためです。

(対角化と対角行列については次回の「対角化と行列のべき乗(製作中です)」で詳しく説明します。)

固有値問題(λを求める手順)

一般化した解き方では分かりにくいので、この記事では、2行2列の行列

$$B=\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
6 & 5
\end{pmatrix}$$の固有値λと固有ベクトル$$A=\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$$

を実際に求めながら手順を確認していきましょう。

定義より、以下の式を満たすAとλを求めていきます。

$$\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=λ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}…(※)$$

第一段階:単位行列Eを右辺にかける

単位行列$$E=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$$は、「逆行列と行列同士の割り算」の記事でも解説しましたが、実数における『1』と同じように扱えます。

そこで、(※)の式の右辺にEをかけます。

$$(右辺)=\begin{aligned}=λ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}
λ & 0 \\
0 & λ
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\end{aligned}$$

途中の計算式がわからない方は→「行列の計算(スカラー倍・和・差)」を再確認してください。

第二段階:移項して固有ベクトルでくくる

次に、右辺を左辺に移項した上で、固有ベクトルでくくります。

$$\left( \begin{pmatrix}
4 & 1 \\
6 & 5
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
λ & 0 \\
0 & λ
\end{pmatrix}\right) \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=0$$

行列の部分を足して、整理すると

$$\begin{pmatrix}
4-λ & 1 \\
6 & 5-λ
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=0$$

第三段階:行列式から固有方程式を作る

行列部分を仮にLとおきます。このLは逆行列持ちません。

したがって、$$Lの行列式:det L=0$$

これを利用して、Lの行列式から、λの方程式(固有方程式と呼びます。)を作ります。

$$\det L=\left( 4-λ \right) \left( 5-λ \right) -\left( 1\times 6\right)$$

 

第四段階:固有方程式を解いて固有値を2つ求める

$$\begin{aligned}\det L=λ ^{2}-9λ +14\\
=\left( λ -7\right) \left( λ -2\right) \end{aligned}$$

$$よって、固有値λ=2、または7$$

であることがわかりました。

固有ベクトルを求める

固有値が求まれば、あとは式に代入していきます。

定義の式(※)より、

$$\begin{pmatrix}
4-λ & 1 \\
6 & 5-λ
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=0$$

(1)λ=2の時

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
6 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=0$$

(2)λ=7の時

$$\begin{pmatrix}
-3 & 1 \\
6 & -2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=0$$

行列と固有ベクトルを掛けて式を作る

λ=2のとき

(2x+y)+(6x+3y)=0

8x+4y=0・・・(1)

λ=7のとき

(-3x+y)+(6x-2y)=0

3x-y=0・・・(2)

x、yを満たす数を選ぶ

ここで、上2つの式の(x、y)を満たす数を選びます。

この際、選ぶ数の組は無数にあるので、なるべく簡単なものを選びましょう。

今回は、(1)を満たす(x、y)=(1、-2)、(2)を満たす(x、y)=(-1、-3)とします。

固有値と固有ベクトルをまとめる

かなり長かったですが、これで固有値λと固有ベクトルAが求まりました。

$$行列B=\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
6 & 5
\end{pmatrix}$$

$$固有値λ=2のとき、固有ベクトル(の一つ)は\begin{pmatrix}
1 \\
-2
\end{pmatrix}$$

$$固有値λ=7のとき、固有ベクトル(の一つ)は\begin{pmatrix}
-1 \\
-3
\end{pmatrix}$$

 

線形代数入門シリーズ一覧とまとめ

今回は2×2の行列のλ、Aについて求めましたが、

3×3、などのさらに複雑な行列のAやλ(今後の記事で紹介します)を求める際の基礎となるので、よく復習しておいてください!

次回は、この記事で学んだ固有値・固有ベクトルを使って行列を「対角行列」にする「対角化」と、

対角化を応用して行列のn乗を求める方法を解説します。

2018/12/10対角化・対角行列とn乗を作成しました。以下のリンク(第6回)より続けてご覧ください。

線形代数(行列)入門シリーズ一覧

>>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<

第0回:「集合と写像をわかりやすく:線形代数への道しるべ

第1回:「線形代数の意味と行列の足し算引き算・スカラー倍

第2回:「行列同士の掛け算の手順をわかりやすく!

第3回:「逆行列と行列の割り算、正則行列について

第4回:「一次変換(線形変換)とは?

第5回:「今ここです」

(NEW!)

第6回;「対角化/対角行列の意味と手順をわかりやすく解説!行列のn乗への応用も

 

今回も最後までご覧いただき誠に有難うございました。

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