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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

線形代数入門シリーズ(4):一次変換

この「線形代数入門シリーズ」は、高校数学と大学の本格的な線形代数学との隙間を埋めるものです。

今回は、「一次変換」について解説していきます。なお、これまでの第一回〜第三回で紹介した行列の知識は必須なので、未読の方はぜひ以下のリンクから先にお読みください。

線形代数学入門1:線形代数の意味と行列の基礎

(第二回・第三回と関連記事はまとめからもご覧いただけます。)

>>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<

一次変換とは何なのか?

はじめに、一次変換(線形変換とも言います)とはどういったものなのかを書いておきます。

厳密な定義は「集合と写像」(←作成しました。一部追記中。)の知識が必要なので、大体の意味が分かれば読み進めて下さい。

変換:「座標上の点を別の点に移す(移動させる)事」(正確には、ある集合から同一の集合への写像を変換という)

座標上の点《(x,y)とします》を、別の座標《(X,Y)とします》に移す時、新しい座標が、X=ax+by の様に「定数項を含まない一次式」で表される時、この移動を一次(線形)変換と言います。

更に、これを行列を使って表すと、

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+by \\
cx+dy
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}$$

となり、この時、元の座標に掛けた

$$行列\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$$

の事を「この一次変換を表す行列」と呼びます。

・・・なかなかややこしいですね。

しかし、このシリーズはあくまで『大学で学ぶ整形代数への橋渡し』がテーマなので、

詳しくは大学で学ぶとして、まずは具体的に一次変換の例を見てみましょう。

座標上の点を一次変換してみる。

実際に行列Aの表す一次変換によって、xy座標上の点(1,2)がどの様に移動するのか見てみます。

$$行列A=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}とします。$$

線形変換:原点対称

$$すると、\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix}$$

となり、点(1,2)は(-1,-2)に移動します。

 

複数の点を一次変換する

今度は、複数の点に行列Aをかけてみます。

一次変換(線形変換)2

このように、行列Aをかけると「原点に関して、対称に移動している」ことがわかるでしょうか?

複素数平面でも、座標上の点を移動させたり拡大縮小させることがありました。

一次変換も、行列をかけるだけで移動させることができる、大変便利なものなのです。

以下に、x軸やy軸に関して対称に移動させたり、θ回転させたい時に座標に「掛ける」行列を並べておきます。

反時計回りにθ回転させたい時

θ反時計回りに回転させるとき、

$$行列\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & cos\theta
\end{pmatrix}$$

 

x軸に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$$

y軸に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$$

原点に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$$

先ほども出てきましたよね。

行列式と一次変換の関係

ここからは、「逆行列とは?行列の割り算と行列式」で取り上げた、“行列式”と一次変換について解説していきます。

上で取り上げた例では、掛けた行列Aの行列式が≠0でしたが、

行列式=0である行列とかけ合わせると一体どうなるのでしょうか?

$$行列B=\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{pmatrix}$$

として、以下の図のような青色の点(0,1)、赤色の点(1,1)、オレンジ色の点(0,2)にそれぞれBをかけてみると、、

行列式=0の時の線形変換

このようにy=2xの一直線上に並んでいます。

このように、行列式と一次変換には

図解:行列式と一次変換の関係

上のような関係があります。

一次変換の練習問題

例題:ある一次変換によって、座標(1,2)が(7,14)に移り、(4,3)は(13,31)に移った。

問:この一次変換を表す2行2列の行列Aを求めよ。

 

この問題は、これまで紹介してきた一次変換を応用したものです。

少し時間をとって考えてみてください。

 

解説

とにかくこの一次変換を表す行列が全くわからないので、2×2の行列Aの成分を以下のように仮定します。

$$まず、行列A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}とおいて、$$

$$A\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
14
\end{pmatrix}$$

$$A\begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
13 \\
31
\end{pmatrix}より、$$

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+2b \\
c+2d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
14
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4a+3b \\
4c+3d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
13 \\
31
\end{pmatrix}$$

ここで、a,b,c,dについて解くと、

a+2b=7と、4a+3b=13これを解いて、

a=1,b=3。

c+2d=14と、4c+3d=31を解いて、

同様に、

c=4,d=5。

$$したがって、行列A=\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

一次変換のまとめ

・いかがでしたか?定義の部分など難しいところがあったかと思いますが、一次変換がどういったものなのか、何となくでもイメージ出来るようになって貰えれば幸いです。

関連記事と線形代数(行列)入門シリーズ

>>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<

第1回:「線形代数の意味と行列の足し算引き算・スカラー倍

第2回:「行列同士の掛け算の手順をわかりやすく!

第3回:「逆行列と行列の割り算、正則行列について

第4回:今ここです

第5回:「固有値と固有ベクトルの計算・求め方をわかりやすく解説

第6回:「ケーリー・ハミルトンの定理と行列のべき乗(制作中)」

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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