線形代数入門シリーズ(4):一次変換

この「線形代数入門シリーズ」は、高校数学と大学の本格的な線形代数学との隙間を埋めるものです。

今回は、「一次変換」について解説していきます。

なお、これまでの第一回〜第三回で紹介した行列の知識は必須なので、未読の方はぜひ以下のリンクから先にお読みください。

線形代数学入門1:線形代数の意味と行列の基礎

(第二回・第三回と関連記事はまとめからもご覧いただけます。)

>>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<

一次変換とは何なのか?

はじめに、一次変換(線形変換とも言います)とはどういったものなのかを書いておきます。

厳密な定義は「集合と写像」(←作成しました。一部追記中。)の知識が必要なので、大体の意味が分かれば読み進めて下さい。

変換:「座標上の点を別の点に移す(移動させる)事」(正確には、ある集合から同一の集合への写像を変換という)

座標上の点《(x,y)とします》を、別の座標《(X,Y)とします》に移す時、新しい座標が、X=ax+by の様に「定数項を含まない一次式」で表される時、この移動を一次(線形)変換と言います。

更に、これを行列を使って表すと、

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+by \\
cx+dy
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}$$

となり、この時、元の座標に掛けた

$$行列\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$$

の事を「この一次変換を表す行列」と呼びます。

・・・なかなかややこしいですね。

しかし、このシリーズはあくまで『大学で学ぶ整形代数への橋渡し』がテーマなので、

詳しくは大学で学ぶとして、まずは具体的に一次変換の例を見てみましょう。

座標上の点を一次変換してみる。

実際に行列Aの表す一次変換によって、xy座標上の点(1,2)がどの様に移動するのか見てみます。

$$行列A=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}とします。$$

線形変換:原点対称

$$すると、\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix}$$

となり、点(1,2)は(-1,-2)に移動します。

 

複数の点を一次変換する

今度は、複数の点に行列Aをかけてみます。

一次変換(線形変換)2

このように、行列Aをかけると「原点に関して、対称に移動している」ことがわかるでしょうか?

複素数平面でも、座標上の点を移動させたり拡大縮小させることがありました。

一次変換も、行列をかけるだけで移動させることができる、大変便利なものなのです。

以下に、x軸やy軸に関して対称に移動させたり、θ回転させたい時に座標に「掛ける」行列を並べておきます。

反時計回りにθ回転させたい時

θ反時計回りに回転させるとき、

$$行列\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & cos\theta
\end{pmatrix}$$

 

x軸に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$$

y軸に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$$

原点に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$$

先ほども出てきましたよね。

行列式と一次変換の関係

ここからは、「逆行列とは?行列の割り算と行列式」で取り上げた、“行列式”と一次変換について解説していきます。

上で取り上げた例では、掛けた行列Aの行列式が≠0でしたが、

行列式=0の行列とかけ合わせると一体どうなるのでしょうか?

$$行列B=\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{pmatrix}$$

として、以下の図のような青色の点(0,1)、赤色の点(1,1)、オレンジ色の点(0,2)にそれぞれBをかけてみると、、

行列式=0の時の線形変換

このようにy=2xの一直線上に並んでいます。

このように、行列式と一次変換には

図解:行列式と一次変換の関係

上のような関係があります。

一次変換の練習問題

例題:ある一次変換によって、座標(1,2)が(7,14)に移り、(4,3)は(13,31)に移った。

問:この一次変換を表す2行2列の行列Aを求めよ。

 

この問題は、これまで紹介してきた一次変換を応用したものです。

少し時間をとって考えてみてください。

 

解説

とにかくこの一次変換を表す行列が全くわからないので、2×2の行列Aの成分を以下のように仮定します。

$$まず、行列A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}とおいて、$$

$$A\begin{pmatrix}
1 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
14
\end{pmatrix}$$

$$A\begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
13 \\
31
\end{pmatrix}より、$$

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+2b \\
c+2d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
14
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4a+3b \\
4c+3d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
13 \\
31
\end{pmatrix}$$

$$ここで、a,b,c,dについて解くと、$$

$$a+2b=7$$

$$4a+3b=13$$これを解いて、

$$a=1,b=3$$

$$c+2d=14$$

$$4c+3d=31$$

同様に、

$$c=4,d=5$$

$$したがって、行列A=\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

この記事のまとめと次回「ケーリー・ハミルトンの定理と行列のべき乗」へ

・いかがでしたか?定義の部分など難しいところがあったかと思いますが、一次変換がどういったものなのか、何となくでもイメージ出来るようになって貰えれば幸いです。

関連記事と線形代数(行列)入門シリーズ

>>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<

第1回:「線形代数の意味と行列の足し算引き算・スカラー倍

第2回:「行列同士の掛け算の手順をわかりやすく!

第3回:「逆行列と行列の割り算、正則行列について

第4回:今ここです

第5回:「固有値と固有ベクトルの計算・求め方をわかりやすく解説

「ケーリー・ハミルトンの定理と行列のべき乗(制作中)」

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