不定方程式の解法パターン(因数分解利用型)

高校数学A整数:不定方程式の解き方(1)

今回の内容は整数分野が苦手or初めて取り掛かる人が主な対象です。

基本問題は解けるという人は、更に難易度の高い(一橋・東大・京大及び単科医大レベルへの橋渡しとなる)整数問題を

扱っている「整数問題を閃き無しで解く3つの道具」のシリーズをお読み下さい。

 

高校数学Aの整数分野では、不定方程式(未知数の方が方程式の数より多い)の中で解が整数であるものを扱った問題が非常に多いです。

今回は不定方程式の解き方のうち、因数分解を用いた解法と問題例を紹介していきます。

 

もし整数条件が付いていないと・・・

xy=5を満たす(x、y)の数の組を求めよ。

(x、y)=(1、5)、(1/2、10)、(- i、5i)、(√5、√5)・・・

「数」の組は無数にあります。

実際、虚数・分数・無理数、と何でも解になってしまいます。

ところが整数条件がつくと一気に解を絞り込むことができます

xy=5 ならば、(x、y)=(-1、-5)(1、5)(5、1)(-5、-1)の4組だけです。

これ程整数条件は強力な制限になるのです。

実際の入試や模試ではもっと複雑な方程式の整数解の組が問われ、

解法も何種類もありますが、最も多いものが因数分解に持ち込むパターンです。

流れとしては、(式)(式)=整数の形になるように変形し、今度はその(式)を先ほど解いたxy=5の様に(式)=x、(式)=yとして絞り込みを行います。

タイプ1:始めから因数分解されている場合

最も簡単・基礎のタイプですが、今後複雑な不定方程式の問題を解く際でも最終的にはこのタイプになることが多いので大切です。

$$(例題1) : (x+7)(y-5)=5 を満たす整数(x、y)を全て求めよ。$$

$$(x+7)=A、(y-5)=B とおいて、AB =5$$

$$(A、B)=(1、5)(5、1)(-1、-5)(-5、-1)$$

$$よって、(x、y)=(-6、10)(-2、6)(-8、0)(-12、4)$$

 

タイプ2:自分で無理矢理(式)(式)=整数の形を作る場合。

このタイプでは、$$ax+by+cxy+d=0のカタチの式をタイプ1の解法に帰着するよう変形させます。$$

 

詳しくは例題2へ。

$$(例題2-1)3x+2y+xy+5=0 を満たす整数(x、y)の組を全て求めよ。$$

 

先ずは『xy』に注目です!この2変数の積の係数が1ならば、

先ず$$(x+  )(y+  )$$の形を作り、3xと2yが出来るようにたすき掛けをして(x+2)(y+3)、

この式を展開すると定数項が問題の式と合わないので、調整する為に-1を付け足して、

$$(x+2)(y+3)-1=0 、更に(式)(式)=整数になるように移項して(x+2)(y+3)=1$$

あとは例題1の様に解きます

$$(x、y)=(-1、-2)、(-3、-4) $$

 

$$(例題2-2)6x+5y+\frac {1}{2}xy+59=0 を満たす整数(x、y)の組を全て求めよ。$$

『xy』の係数が1でない場合です。

(例題2-1)と同じ流れで解くために、xyの係数が1になる様に式を◯倍します

その後の解法は一緒です。

$$両辺2倍して12x+10y+xy+118=0$$
$$(x+10)(y+12)+118-120=0$$
$$(x+10)(y+12)=2$$
$$(x、y)=(-8、-11)(-9、-10)(-11、-14)(-12、-13) $$

ここでは不定方程式の因数分解利用型の解法のうち基本的な2+1パターンを紹介しました。

この他にも、いくつか応用の解法がありますが、最終的にはタイプ1に帰着します。

従ってまずこの記事で取り上げた解法をマスターし、発展問題へ進んで下さい。

次回は、不定方程式の解法(2)として条件式から絞り込む解法を紹介します。

今日もお疲れ様でした。

お役に立ちましたら各snsボタンでシェアお願いします。

おすすめの記事
確率漸化式入門|数学融合問題シリーズ
場合の数と確率
確率漸化式は場合の数・確率と数列の融合分野です。文系数学は勿論、数列の極限とも相性が良いので、理系数学でもよく見られる確実に攻略しておきたい...