組み分け問題が苦手な人へ!

こんな悩みは有りませんか?

区別がつく/つかないものを、区別がつく/つかないものへ組み分けするパターンが多くていつどの解法を使えば良いか分からない

・更に空室や空箱の有無でどう解法が変わるかよくわからない

・この記事を読めば組み分け問題の解法で迷うことはなくなります!

早速始めましょう!

なお、場合の数と確率の記事をまとめたページを作成したので是非参考にしてください。

>>「場合の数と確率の解法総まとめ

組分け(グループ分け)問題は大きく下の4種類に分かれています。

そして、その各々の組み分け先に空きがあっても良いか否かで更に種類が2倍に増えるので、計8種類にもなります。

1:区別がつくもの→区別がつくもの

2:区別がつくもの→区別がつかないもの

3:区別がつかないもの→区別がつくもの

4:区別がつかないもの→区別がつかないもの

ここで解法の森に迷わない為には、この4つの関係を理解し、記憶しておくことが大切です。

基本的に(1)は単独で解けます。(3)も同様です。問題は、(2)と(4)です。

この2つは先に(1)、(3)を求めて、重複している分を取り除く作業を行います。[但し(4)は全て数え上げる事もあります。]

(1)区別がつくもの→区別がつくものに組み分けする方法から見ていきましょう。

例題(1-1)6人を部屋A、B、Cに分ける場合の数を求めよ。但し空室があっても良いものとする。

場合の数と確率の分野では「人」は何も書いていない場合は区別します。

一人一人が3つの部屋の内から行きたい部屋を選ぶと考えて、36=729(通り)//

 

例題(1-2)同条件で空室があってはならないとする。

この場合は(1-1)の総数から

(α)全員が1つの部屋へ行く 3通り

(β)全員が2つの部屋に行く、2^6=64通り

※ここでβは全員が1つの部屋に行くαの場合を重複して計算してしまっているので、2通りを引く。

そしてどの二部屋かを選ぶ3C2=3通り

よって3*(64-2)=186(通り)

を引くと、

729-(3+186)=540(通り)//

 

(2)区別が付くものを区別が付かないものに分ける。

これは最初に書いた様に(1)を利用します。

例題(2-1)6人を区別の付かない3部屋に分けるときの場合の数を求めよ。但し空室があっても良いものとする。

ここでは答えをn(通り)と先に置いておきます。

区別がつく場合は、例題(1-1)より729(通り)でした。ここで(1-1)と(2-1)がどの様な関係にあるか考えます。

全て一部屋に集まる場合、例題1では(6、0、0)と(0、6、0)、(0、0、6)の3通りを区別していましたが、今回はこれらを同じものとして数えます。

また、それ以外なら例題1-1では区別していた

(2、4、0)、(2、0、4)・・・、(0、4、2)の3!(通り)が今回は1(通り)と数えられるので、

(n-1)通りと3!(通り)が対応するので、纏めると

1*3+(n-1)*3!=3^6・・・と言う式が作れます。今nを求めたいので、3+6n-6=729・・・#1

#1を解いて、6n=732⇔n=122(通り)//

 

例題(2-2)6人を区別のつかない3部屋に分ける場合の数を求めよ。但し空室があってはならないとする。

この場合は、(1-2)の「部屋の区別がつく」分け方540通りから重複している部分を割ります。

具体的には、部屋A/B/Cの区別が無くなるので

A/B/Cの並べ方:3!=6で割る事になります。

よって、540/(3!)=90(通り)//

(3)区別がつかないものを区別つくものに分ける

 

例題(3-1)区別がつかない6個の球を3つの箱A/B/Cに分ける場合の数を求めよ。但し空箱があっても良いものとする。

 

これは以前紹介した重複組合せそのままですね!

未だ読んでいない人は→「重複組合せを得意にするたった一つの考え方」をご覧下さい!

従って、丸仕切り法の考え方を使って、6つの丸と2つの仕切りを8箇所に並べるとして、

8c2、若しくは同じものを並べる順列より、8!/6!2!     =28通り//

例題(3-2):(3-1)と同条件で、空箱があってはならないとする。

これも、丸仕切り法です。

先に箱ABCに1個づつ丸を配っておいて、

残りの3つを2つの仕切りで分けると考えて、5c2=5!/(3!2!)=10通り//

 

(4)区別のつかないものを区別がつかないものに分ける。

このパターンはいささかややこしいです。最悪全て数え上げることもあります。

例題(4-1)区別がつかない6個の球を区別がつかない3つの箱に分ける場合の数を求めよ。但し空箱があっても良い。

この問いの場合、数え上げの方が早いです。

具体的には、(6、0、0)、(5、1、0)、(4、2、0)、(4、1、1)、(3、3、0)、(3、2、1)、(2、2、2)の計7通り//

例題(4-2)区別がつかない6個の球を区別がつかない3つの箱に分ける。但し空箱があってはならないとする。

同じく、数え上げて、(4、1、1)、(3、2、1)、(2、2、2)の3通り//

 

如何でしたか?かなり分量(パターン)が多かったと思います。

一気に理解できなくてもいいので、少しずつ進めて下さい。

最終的に8つの相互関係が頭の中で再現出来、問題文を見て、各々を正確に使いこなせる様になることが目標です。

お疲れ様でした!

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