今回は運動方程式から力学的エネルギー保存則と運動量保存則を導出します
まず「運動方程式」について解説し、その後力学的エネルギー保存則の導出と、同じく運動方程式から運動量保存則を導出します。
(本記事では、高校数学Ⅲまでの範囲の微分・積分を使用するので、既習していることが望ましいです。)
（参考→「数学３：微分積分の解法/解説記事まとめ」）
そもそも運動方程式はニュートンが発見した、運動の3法則の2番目です。高校物理に於いて最重要中の最重要事項ですが、
「ma=F」でしょ。と式だけみて代入して、、、と解いている人が驚く程沢山います。
目次(タップした所へ飛びます)
運動方程式の意味
徹底的に運動方程式と向き合ってみましょう。
ma=Fが「運動」方程式と呼ばれている理由とは？
「物体にかかる力がわかれば加速度が分かる。加速度がわかれば、速度も、未来の位置も、要するに全ての運動がわかる」
括弧のように、力と運動(加速度)をイコールで結んでいるから運動方程式、と呼ぶわけです。
今日は当然のことばかり書きます。しかし「当然」イコール「簡単」では決してありません。
むしろ当たり前の事が一番難しいのです。
その事をしっかり理解すれば大学受験は怖く有りません(何処であろうと、です。)
さらに、ほとんどの人が「当然の事」を「簡単な事・些細な事」と考えてスルーする為に、
今あなたが「当然の事」を理解しようとこの記事を読んでいるだけで、既に他の受験生から抜け出しているのです。
少し話が逸れてしまいました。あくまでこのサイトでは高校範囲で解説していますから、
運動方程式の解は3パターンしか有りません。
運動方程式の解３つを整理しておきましょう。
パターン１:等加速度運動型
このタイプは、
$$x=v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2}$$
$$v=v_{0}+at$$
$$v^{2}-v^{2}_{0}=2ax$$
の三公式で解くことが出来るものです。
パターン２:終端速度型
終端速度型とは、最終的に速度がある一定の値に漸近(限りなく近づく事)するタイプで、具体例として
空気抵抗を受けながら落下する雨粒の運動←(リンク先記事で詳しく説明しています。)などがあります。
パターン3:単振動型
単振動型はその名の通りです。こちらのタイプも
→単振動を微分方程式で表してみる、をご覧下さい。
ここまで運動方程式の解について見て来ましたが、力学の問題を解く際に主にあと2つの法則を使います。
それが運動量保存則と力学的エネルギー保存則です。
力学的エネルギー保存則と運動量保存則を運動方程式から導出する
ここから、実際に運動方程式から２つの保存則を導きます。
力学的エネルギー保存則の導出
※この項は少し難しい(発展的)ので、全て理解出来なくても、
「運動方程式から力学的エネルギー保存則が導ける」ということと、大まかな流れが分かってもらえれば十分です。
（最低限の知識として、変位を時間で微分すると速度、速度を時間で微分すると加速度、になる事は頭に入れておいてください）
$$\frac {dx}{dt}=v,\frac {dv}{dt}=a$$
よって、運動方程式は、$$m\frac {dv}{dt}=F$$
と書けます。ココで運動方程式の両辺にv（速さ）を掛けて時間で積分して見ます。積分区間はt0→tです。
$$m\frac {dv}{dt}\cdot v=Fv$$
$$\int ^{t}_{t_{0}}m\frac {dv}{dt}\cdot vdt=\int ^{t}_{t_{0}}Fvdt$$
ココからは左辺と右辺を別々に計算していきます。
途中、置換積分を行っています。（tをvに置き換えています。また、t０の時の速度をv０；tの時の速度をvとします）
$$\begin{aligned}\int ^{v}_{v_{0}}mvdv=[ \frac {1}{2}mv^{2}] ^{v}_{v_{0}}\\
=\frac {1}{2}mv^{2}-\frac {1}{2}mv^{2}_{0}\end{aligned}$$
すると、左辺は運動エネルギーの変化の形になっています！！
右辺も同様に積分すると、$$\int ^{t}_{t_{0}}vFdt=\int ^{t}_{t_{0}}F\frac {dx}{dt}dt$$
$$\int ^{x}_{x_{0}}Fdx$$
物体に働くすべての力Fをx０→xまで積分したもの。。
これは、縦軸にF；横軸にxを取ったグラフの面積と言えますね。
力×距離＝仕事、だったので「この面積＝物体に働く力のした仕事」と読み替えることが出来ます。
次に右辺と左辺を＝で結び直すと、$$\frac {1}{2}mv^{2}-\frac {1}{2}mv^{2}_{0}=\int ^{x}_{x_{0}}Fdx$$
$$\Delta ( \frac {1}{2}mv^{2}) =Wall$$・・・#1
この式は、「運動エネルギーの変化＝Fがしたすべての仕事」という意味です。
更に、W(all)を保存力のした仕事と、非保存力がした仕事の和として分離させ、重力がした仕事を加えて見ると
W(all)=W(非保存力）＋W（重力）・・・＃2
ここでW（重力）＝ーΔU（重力）・・・位置エネルギーの変化量は重力がした仕事と逆符号になるので、W(all)=W(非保存力)-ΔU(重力)
従って非保存力(摩擦など)が働かない時=0
W all+ΔU =0 となり、#1と合わせると、
非保存力が0の時、運動エネルギーの変化量と位置エネルギーの変化量の和が常に0＝力学的エネルギーは常に一定
より、力学的エネルギー保存則が導けました。（ココにバネの弾性エネルギー等々が加わりますが、位置エネルギーと同じ様に計算できます）
運動量保存則の導出
運動量保存則は力学的エネルギー保存則と違って、2物体での運動時を考えます。
運動量保存を使う問題を考えると、衝突して跳ね返ったり、くっ付いたりと必ず２つ以上の物体を対象にしているからです。
運動量保存は、まず２物体（質量がそれぞれ、Mとm、加速度がaMとamとします）各々の運動方程式の両辺にΔtをかけます。
すると（右辺）に「力積」、（左辺）に「速度の変化」が現れてきます。
更に、作用反作用の法則より２物体間に働く内力の大きさは同じで逆符号です。
そこで、連立式を足し合わせて加速度にΔtをかけたものはΔV、これらを時間で積分（積分区間はt０からt）すると導出できます。
百聞は一見にしかず、ですので実際に式変形を見て文章と照らし合わせて見てください。
$$F=ma_{m}、と、-F=Ma_{M}$$
$$FΔt=ma_{m}Δt$$
$$-FΔt=Ma_{M}Δt$$
$$0=Ma_{M}Δt+ma_{m}Δ t$$
$$\int ^{t}_{t0}0=\int ^{t}_{t_{0}}M\Delta Vdt+\int ^{t}_{t_{0}}m\Delta vdt$$
従って、Const.=MV+mv
Const.は積分定数なので、右辺は常に一定になります。
これで、いつもの運動量保存の式が導けました。
まとめ
微分・積分を多く使用しているので、慣れていないと難しいと感じてしまったり、
？？なところが残るかも知れません
。厳密な事は大学以降で行うので、あくまで、
「力学の諸法則は運動方程式から導けるんだなぁ」と思って貰えれば十分だと思います。
また、式変形を追って行ったり、「行間を読んで、それでもわからないところを調べてみる」と言う事は必ず無駄になる事は無いです。
この微積分の訓練は電磁気や波動を学ぶ際にも役に立ちます。ですので、たまにこの記事を開いて知識を整理して貰えれば幸いです。
今日もお疲れ様でした。
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