今回は運動方程式から力学的エネルギー保存則と運動量保存則を導出します

 

まず「運動方程式」について解説し、その後力学的エネルギー保存則の導出と

同じく運動方程式から運動量保存則を導出します。

(本記事では、高校数学Ⅲまでの範囲の微分・積分を使用するので、既習していることが望ましいです。)

そもそも運動方程式はニュートンが発見した、運動の3法則の2番目です。高校物理に於いて最重要中の最重要事項ですが、

「ma=F」でしょ。と式だけみて代入して、、、と解いている人が驚く程沢山います。

運動方程式の意味

徹底的に運動方程式と向き合ってみましょう。

ma=Fが「運動」方程式と呼ばれている理由とは?

 

「物体にかかる力がわかれば加速度が分かる。加速度がわかれば、速度も、未来の位置も、要するに全ての運動がわかる」

括弧のように、力と運動(加速度)をイコールで結んでいるから運動方程式、と呼ぶわけです。

今日は当然のことばかり書きます。しかし「当然」イコール「簡単」では決してありません

むしろ当たり前の事が一番難しいのです。その事をしっかり理解すれば大学受験は怖く有りません(何処であろうと、です。)

 

さらに、ほとんどの人が「当然の事」を「簡単な事・些細な事」と考えてスルーする為に、

今あなたが「当然の事」を理解しようとこの記事を読んでいるだけで、既に他の受験生から抜け出しているのです

少し話が逸れてしまいました。あくまでこのサイトでは高校範囲で解説していますから、

運動方程式の解は3パターンしか有りません。

パターン1:等加速度運動型

このタイプは、

$$x=v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2}$$

$$v=v_{0}+at$$

$$v^{2}-v^{2}_{0}=2ax$$

の三公式で解くことが出来るものです。

等加速度運動と鉛直投げ上げ運動

パターン2:終端速度型

終端速度型とは、最終的に速度がある一定の値に漸近(限りなく近づく事)するタイプで、具体例として

空気抵抗を受けながら落下する雨粒の運動←(リンク先記事で詳しく説明しています。)などがあります。

パターン3:単振動型

単振動型はその名の通りです。こちらのタイプも

単振動を微分方程式で表してみる、をご覧下さい。

ここまで運動方程式の解について見て来ましたが、力学の問題を解く際に主にあと2つの法則を使います。

それが運動量保存則と力学的エネルギー保存則です。

力学的エネルギー保存則と運動量保存則を運動方程式から導出する

力学的エネルギー保存則の導出

※この項は少し難しい(発展的)ので、全て理解出来なくても、

「運動方程式から力学的エネルギー保存則が導ける」という事と、大まかな流れが分かってもらえれば十分です。

(最低限の知識として、変位を時間で微分すると速度、速度を時間で微分すると加速度、になる事は頭に入れておいてください)

$$\frac {dx}{dt}=v,\frac {dv}{dt}=a$$

よって、運動方程式は、$$m\frac {dv}{dt}=F$$

と書けます。ココで運動方程式の両辺にv(速さ)を掛けて時間で積分して見ます。積分区間はt0→tです。

$$m\frac {dv}{dt}\cdot v=Fv$$

$$\int ^{t}_{t_{0}}m\frac {dv}{dt}\cdot vdt=\int ^{t}_{t_{0}}Fvdt$$

ココからは左辺と右辺を別々に計算していきます。

途中、置換積分を行っています。(tをvに置き換えています。また、t0の時の速度をv0;tの時の速度をvとします)

$$\begin{aligned}\int ^{v}_{v_{0}}mvdv=\left[ \frac {1}{2}mv^{2}\right] ^{v}_{v_{0}}\\
=\frac {1}{2}mv^{2}-\frac {1}{2}mv^{2}_{0}\end{aligned}$$

すると、左辺は運動エネルギーの変化の形になっています!!

右辺も同様に積分すると、$$\int ^{t}_{t_{0}}vFdt=\int ^{t}_{t_{0}}F\frac {dx}{dt}dt$$

$$\int ^{x}_{x_{0}}Fdx$$

物体に働くすべての力Fをx0→xまで積分したもの。。

これは、縦軸にF;横軸にxを取ったグラフの面積と言えますね。

力×距離=仕事、だったので「この面積=物体に働く力のした仕事」と読み替えることが出来ます。

次に右辺と左辺を=で結び直すと、$$\frac {1}{2}mv^{2}-\frac {1}{2}mv^{2}_{0}=\int ^{x}_{x_{0}}Fdx$$

$$\Delta \left( \frac {1}{2}mv^{2}\right) =Wall$$・・・#1

この式は、「運動エネルギーの変化=Fがしたすべての仕事」という意味です。

更に、W(all)を保存力のした仕事と、非保存力がした仕事の和として分離させ、重力がした仕事を加えて見ると

W(all)=W(非保存力)+W(重力)・・・#2

ここでW(重力)=ーΔU(重力)・・・位置エネルギーの変化量は重力がした仕事と逆符号になるので、W(all)=W(非保存力)-ΔU(重力)

従って非保存力(摩擦など)が働かない時=0

W all+ΔU =0 となり、#1と合わせると、

非保存力が0の時、

運動エネルギーの変化量と位置エネルギーの変化量の和が常に0=力学的エネルギーは常に一定

より、力学的エネルギー保存則が導けました。(ココにバネの弾性エネルギー等々が加わりますが、位置エネルギーと同じ様に計算できます)

 

運動量保存則の導出

 

運動量保存則は力学的エネルギー保存則と違って、2物体での運動時を考えます。

運動量保存を使う問題を考えると、衝突して跳ね返ったり、くっ付いたりと必ず2つ以上の物体を対象にしているからです

運動量保存は、まず2物体(質量がそれぞれ、Mとm、加速度がaMとamとします)各々の運動方程式の両辺にΔtをかけます。

すると右辺に力積、左辺に速度の変化が現れてきます。更に、作用反作用の法則より2物体間に働く内力の大きさは同じで逆符号です。

そこで、連立式を足し合わせて加速度にΔtをかけたものはΔVこれらを時間で積分(積分区間はt0からt)すると導出できます。

 

百聞は一見にしかず、ですので実際に式変形を見て文章と照らし合わせて見てください。

 

$$F=ma_{m}$$ $$-F=Ma_{M}$$

$$F\Delta t=ma_{m}\Delta t$$

$$-F\Delta t=Ma_{M}\Delta t$$

$$0=Ma_{M}\Delta t+ma_{m}\Delta t$$

$$\int ^{t}_{t0}0=\int ^{t}_{t_{0}}M\Delta Vdt+\int ^{t}_{t_{0}}m\Delta vdt$$

$$従って、Const.=MV+mv$$

Const.は積分定数なので、右辺は常に一定になります。

これで、いつもの運動量保存の式が導けました。

 

まとめ

微分・積分を多く使用しているので、慣れていないと難しいと感じてしまったり、

??なところが残るかも知れません

。厳密な事は大学以降で行うので、あくまで、

「力学の諸法則は運動方程式から導けるんだなぁ」と思って貰えれば十分だと思います。

また、式変形を追って行ったり、「行間を読んで、それでもわからないところを調べてみる」と言う事は必ず無駄になる事は無いです。

この微積分の訓練は電磁気や波動を学ぶ際にも役に立ちます。ですので、たまにこの記事を開いて知識を整理して貰えれば幸いです。

 

今日もお疲れ様でした。

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