このページには広告が含まれています。

執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

 今回は運動方程式から力学的エネルギー保存則と運動量保存則を導出します

 

まず「運動方程式」について解説し、その後力学的エネルギー保存則の導出と、同じく運動方程式から運動量保存則を導出します。

(本記事では、高校数学Ⅲまでの範囲の微分・積分を使用するので、既習していることが望ましいです。)

(参考→「数学3:微分積分の解法/解説記事まとめ」)

そもそも運動方程式はニュートンが発見した、運動の3法則の2番目です。高校物理に於いて最重要中の最重要事項ですが、

「ma=F」でしょ。と式だけみて代入して、、、と解いている人が驚く程沢山います。

運動方程式の意味

徹底的に運動方程式と向き合ってみましょう。

ma=Fが「運動」方程式と呼ばれている理由とは?

「物体にかかる力がわかれば加速度が分かる。加速度がわかれば、速度も、未来の位置も、要するに全ての運動がわかる」

括弧のように、力と運動(加速度)をイコールで結んでいるから運動方程式、と呼ぶわけです。

今日は当然のことばかり書きます。しかし「当然」イコール「簡単」では決してありません

むしろ当たり前の事が一番難しいのです。

その事をしっかり理解すれば大学受験は怖く有りません(何処であろうと、です。)

さらに、ほとんどの人が「当然の事」を「簡単な事・些細な事」と考えてスルーする為に、

今あなたが「当然の事」を理解しようとこの記事を読んでいるだけで、既に他の受験生から抜け出しているのです。

少し話が逸れてしまいました。あくまでこのサイトでは高校範囲で解説していますから、

運動方程式の解は3パターンしか有りません。

運動方程式の解3つを整理しておきましょう。

パターン1:等加速度運動型

このタイプは、

$$x=v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2}$$

$$v=v_{0}+at$$

$$v^{2}-v^{2}_{0}=2ax$$

の三公式で解くことが出来るものです。

等加速度運動と鉛直投げ上げ運動

パターン2:終端速度型

終端速度型とは、最終的に速度がある一定の値に漸近(限りなく近づく事)するタイプで、具体例として

空気抵抗を受けながら落下する雨粒の運動←(リンク先記事で詳しく説明しています。)などがあります。

パターン3:単振動型

単振動型はその名の通りです。こちらのタイプも

単振動を微分方程式で表してみる、をご覧下さい。

ここまで運動方程式の解について見て来ましたが、力学の問題を解く際に主にあと2つの法則を使います。

それが運動量保存則と力学的エネルギー保存則です。

力学的エネルギー保存則と運動量保存則を運動方程式から導出する

ここから、実際に運動方程式から2つの保存則を導きます。

力学的エネルギー保存則の導出

※この項は少し難しい(発展的)ので、全て理解出来なくても、

「運動方程式から力学的エネルギー保存則が導ける」ということと、大まかな流れが分かってもらえれば十分です。

(最低限の知識として、変位を時間で微分すると速度、速度を時間で微分すると加速度、になる事は頭に入れておいてください)

$$\frac {dx}{dt}=v,\frac {dv}{dt}=a$$

よって、運動方程式は、$$m\frac {dv}{dt}=F$$

と書けます。ココで運動方程式の両辺にv(速さ)を掛けて時間で積分して見ます。積分区間はt0→tです。

$$m\frac {dv}{dt}\cdot v=Fv$$

$$\int ^{t}_{t_{0}}m\frac {dv}{dt}\cdot vdt=\int ^{t}_{t_{0}}Fvdt$$

ココからは左辺と右辺を別々に計算していきます。

途中、置換積分を行っています。(tをvに置き換えています。また、t0の時の速度をv0;tの時の速度をvとします)

$$\begin{aligned}\int ^{v}_{v_{0}}mvdv=[ \frac {1}{2}mv^{2}] ^{v}_{v_{0}}\\
=\frac {1}{2}mv^{2}-\frac {1}{2}mv^{2}_{0}\end{aligned}$$

すると、左辺は運動エネルギーの変化の形になっています!!

右辺も同様に積分すると、$$\int ^{t}_{t_{0}}vFdt=\int ^{t}_{t_{0}}F\frac {dx}{dt}dt$$

$$\int ^{x}_{x_{0}}Fdx$$

物体に働くすべての力Fをx0→xまで積分したもの。。

これは、縦軸にF;横軸にxを取ったグラフの面積と言えますね。

力×距離=仕事、だったので「この面積=物体に働く力のした仕事」と読み替えることが出来ます。

次に右辺と左辺を=で結び直すと、$$\frac {1}{2}mv^{2}-\frac {1}{2}mv^{2}_{0}=\int ^{x}_{x_{0}}Fdx$$

$$\Delta ( \frac {1}{2}mv^{2}) =Wall$$・・・#1

この式は、「運動エネルギーの変化=Fがしたすべての仕事」という意味です。

更に、W(all)を保存力のした仕事と、非保存力がした仕事の和として分離させ、重力がした仕事を加えて見ると

W(all)=W(非保存力)+W(重力)・・・#2

ここでW(重力)=ーΔU(重力)・・・位置エネルギーの変化量は重力がした仕事と逆符号になるので、W(all)=W(非保存力)-ΔU(重力)

従って非保存力(摩擦など)が働かない時=0

W all+ΔU =0 となり、#1と合わせると、

非保存力が0の時、運動エネルギーの変化量と位置エネルギーの変化量の和が常に0=力学的エネルギーは常に一定

より、力学的エネルギー保存則が導けました。(ココにバネの弾性エネルギー等々が加わりますが、位置エネルギーと同じ様に計算できます)

運動量保存則の導出

運動量保存則は力学的エネルギー保存則と違って、2物体での運動時を考えます。

運動量保存を使う問題を考えると、衝突して跳ね返ったり、くっ付いたりと必ず2つ以上の物体を対象にしているからです

運動量保存は、まず2物体(質量がそれぞれ、Mとm、加速度がaMとamとします)各々の運動方程式の両辺にΔtをかけます。

すると(右辺)に「力積」、(左辺)に「速度の変化」が現れてきます。

更に、作用反作用の法則より2物体間に働く内力の大きさは同じで逆符号です。

そこで、連立式を足し合わせて加速度にΔtをかけたものはΔV、これらを時間で積分(積分区間はt0からt)すると導出できます。

百聞は一見にしかず、ですので実際に式変形を見て文章と照らし合わせて見てください。

$$F=ma_{m}、と、-F=Ma_{M}$$

$$FΔt=ma_{m}Δt$$

$$-FΔt=Ma_{M}Δt$$

$$0=Ma_{M}Δt+ma_{m}Δ t$$

$$\int ^{t}_{t0}0=\int ^{t}_{t_{0}}M\Delta Vdt+\int ^{t}_{t_{0}}m\Delta vdt$$

従って、Const.=MV+mv

Const.は積分定数なので、右辺は常に一定になります。

これで、いつもの運動量保存の式が導けました。

まとめ

微分・積分を多く使用しているので、慣れていないと難しいと感じてしまったり、

??なところが残るかも知れません

。厳密な事は大学以降で行うので、あくまで、

「力学の諸法則は運動方程式から導けるんだなぁ」と思って貰えれば十分だと思います。

また、式変形を追って行ったり、「行間を読んで、それでもわからないところを調べてみる」と言う事は必ず無駄になる事は無いです。

この微積分の訓練は電磁気や波動を学ぶ際にも役に立ちます。ですので、たまにこの記事を開いて知識を整理して貰えれば幸いです。

今日もお疲れ様でした。

微分方程式の解説と関連記事まとめへ戻る

お役に立ちましたら、シェア&当サイト公式Twitterのフォローをお願いします!

質問・記事について・誤植・その他のお問い合わせは、コメント欄又はお問い合わせページまでお願い致します。

Twitterでフォローしよう