対偶法(論理と集合・証明シリーズ)

高校数学・大学入試で用いる証明法は色々とありますが、その中でも最も重要な3つの証明法:数学的帰納法・背理法・対偶法を解説しています。

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・「数学的帰納法の解説記事」・

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今回は、「対偶法」を扱います。具体例やイラストを見ながら一つ一つ理解を進めましょう。

用語の解説の後に、実際に問題を利用して確認していきます。

対偶とは?逆・裏やド・モルガンの法則との関係

「対偶法」を学ぶ前に、論理と集合の範囲の意味を知っておく必要があります。

$$命題:p→q(pならばq)$$

真と偽

$$命題(p→q:pならばq)が正しいことを『真』、$$

$$間違っていることを『偽』と言います。$$

$$「逆」とは、命題の矢印の向きが逆の事を言います。$$

$$『p→q』の“逆”は『q→p』$$

$$「q、ならば、p」$$

$$「裏」は元の命題を否定したものです。$$

$$『p→q』の裏は『\overline {p}\rightarrow \overline {q}』$$

$$「p、で無いならば、qで無い」$$

対偶法の用語説明

対偶

$$いよいよ対偶です。$$

$$『p→q』の対偶は「\overline {q}\rightarrow \overline {p}』$$

$$「q、で無いならば、pで無い」$$

対偶の最も重要な性質が、【元の命題と対偶の真・偽が必ず一致する】と言うものです。

敵の敵は味方」の様な理屈で考えると分かりやすいでしょうか?

対偶の特徴

この性質を利用して、そのまま真・偽を判定(or証明)しにくい命題の対偶を調べて、間接的に証明する方法が【対偶法】です。

逆/裏/対偶の関係図

この「逆・裏・対偶」の関係を図にしたものが下の<図1>です。

逆・裏・対偶の関係図

<図1>

さて、文字ばかり並ぶと分かりにくくなりますから、1つの命題(のこと)を例にして解説していきます。

対偶法の使い方

では実際に、どのように対偶法を用いて証明を進めるのか、簡単な例題をもとに考えていきます。

例題1

$$命題:「n^{2}が2の倍数、ならば、n=2の倍数である」を証明せよ。$$

$$これを文字で表すと$$

$$『n^{2}=2k→n=2k(kは整数)』となり、$$

$$今までのpがn^{2}=2k、$$

$$→が「ならば」の意味、$$

$$qがn=2k(kは整数)に対応しています。$$

さて、この命題を証明するにあたって、これまで学んできた「背理法」・「数学的帰納法」、そして今回の「対偶法」など、色々な方法の中から証明法を選択する必要があります。

目安は、『矢印の向きを逆にした方が証明が楽になるか?』

初めのうちはどの方法が良いのか悩むかもしれません。

が、一つの目安としてp→qをq→pに変えた方が単純になるか、という点で命題を見てみることをお勧めしています。

つまり、この例題1を考えると、

「$$n^{2}が2の倍数ならばn=2の倍数である$$」と、

「$$n=2の倍数でないならばn^{2}が2の倍数でない$$」

となって、二乗が外れた分だけ少し簡単になります。よって、この問題は対偶法で証明していくことにします。

では解答を作っていきます。

解答・解説1

$$この命題の対偶を取ると、$$

$$『n=2の倍数で無いならば$$

$$n^{2}は2の倍数では無い』。$$

<この様な倍数が絡む時は、剰余類に分けると上手く行く事が多いです→(参照:「整数問題の重要解法(2)剰余類に分けてみる」)>

ここでは、nが2の倍数でないことをn=2k+1(kは整数)と表します。

$$これをn^{2}に代入すると、$$

$$(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1$$

$$式変形して、n^{2}=2(2k^{2}+2k)+1$$

$$これは(2の倍数)+1の形$$

$$なのでn^{2}は常に2の倍数でない。$$

$$よって、対偶が真なので元の命題も真。$$

以上より

$$n^{2}が2の倍数ならばn=2の倍数である$$

が示された。

定着用問題(対偶法)

$$命題「m^{2}+n^{2}+l^{2}≠0、$$

$$ならば、m,n,lのいずれかは0でない」$$

$$を証明せよ。$$

この命題も対偶法を用いて証明します。

少し時間をとって自分なりに証明して見てください。

 

では、解説していきます。

$$対偶は、「m,n,lが全て0、$$

$$ならば、$$

$$m^{2}+n^{2}+l^{2}=0」$$

$$『いずれか』の反対は『全て』です。$$

$$m=0,n=0,l=0・・・(1)$$

$$(1)をm^{2}+n^{2}+l^{2}に$$

$$それぞれ代入すると、$$

$$0^{2}+0^{2}+0^{2}=0より真。$$

$$したがって、対偶が真なので$$

$$元の命題である$$

$$「m^{2}+n^{2}+l^{2}≠0、$$

$$ならば、$$

$$m,n,lのいずれかは0でない」も真$$

よって示された。

この命題は、直感的に正しいことがわかるかと思います。

が、実際証明するとなると、対偶を取った方が圧倒的に楽です。

まとめと背理法・数学的帰納法との関係

〜証明シリーズ〜

 

背理法

背理法とは何か?キソと応用問題『tan1°は有理数か』

数学的帰納法

数学的帰納法の解説と証明問題

論理と集合

ド・モルガンの法則と余事象の解説記事

(NEW!)「必要条件と十分条件の見分け方、例題の解き方のコツ

 

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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