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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

高校数学A整数:不定方程式の解き方(1)

*今回の内容は整数分野が苦手or初めて取り掛かる人が主な対象です。

基本問題は解けるという人は、更に難易度の高い整数問題を扱っている「整数問題を閃き無しで解く3つの道具」のシリーズをお読み下さい。

また、基本的な因数分解の解き方の復習は、右のリンクから確認してください!→「因数分解の仕方(たすき掛け/公式/コツ)まとめ」。

さて、高校数学Aの整数分野では、“不定方程式”=(未知数の方が方程式の数より多い)の中で、解が整数であるものを扱った問題が非常に多いです。

今回は不定方程式の解き方のうち、因数分解を用いた解法と問題例を紹介していきます。

もし整数条件が付いていないと・・・

xy=5を満たす(x、y)の数の組を求めよ。

(x、y)=(1、5)、(1/2、10)、(- i、5i)、(√5、√5)・・・

「条件を満たす数」の組は無数にあります

実際、虚数・分数・無理数、と何でも解になってしまいます。

ところが、整数条件がつくと一気に解を絞り込むことができます。

xy=5 ならば、(x、y)=(-1、-5)、(1、5)、(5、1)、(-5、-1)の4組だけです。

これほど、整数であるという条件は強力な制限になるのです。

実際の入試や模試ではもっと複雑な方程式の整数解の組が問われ、解法も何種類もありますが、最も多いものが因数分解に持ち込むパターンです。

流れとしては、(式)(式)=整数の形になるように変形し、→今度はその(式)を先ほど解いたxy=5の様に(式)=x、(式)=yとして“絞り込み”を行います。

タイプ1:始めから因数分解されている場合

最も簡単・基礎のタイプですが、今後複雑な不定方程式の問題を解く際でも、最終的にはこのタイプになることが多いので非常に重要です。

(例題1) : 

(x+7)(y-5)=5 を満たす整数(x、y)を全て求めよ。

この問いは、初めから因数分解の形をしているので、各々の因数を文字でおいて、文字の積の形に変形します。

(x+7)=A、(y-5)=B とおいて、AB =5

後は、掛けて5になる組を選びます。

(A、B)=(1、5)(5、1)(-1、-5)(-5、-1)

A、Bが求まったので、先ほどの因数→文字の逆の操作をして、A=(x+7)、B=(y-5)に戻します。

最後にA、Bに上の組みを代入します。

よって、(x、y)=(-6、10)(-2、6)(-8、0)(-12、4)

タイプ2:自分で無理矢理(式)(式)=整数の形を作る場合。

このタイプは特に頻出です。自分で因数分解の形に変形するパターンです。

$$ax+by+cxy+d=0$$

のカタチの式をタイプ1の解法に帰着するよう変形させます。

詳しくは例題2へ。

(例題2-1) 3x+2y+xy+5=0 の式を満たす整数(x、y)の組を全て求めよ。

先ずは『xy』に注目です!この2変数の積の係数が1ならば、まず(x+  )(y+  )の形を作り、3xと2yが出来るようにたすき掛けをして(x+2)(y+3)

この式を展開すると定数項が問題の式と合わないので、調整する為に-1を付け足して、

(x+2)(y+3)-1=0 、ここで更に(式)(式)=整数になるように移項して、(x+2)(y+3)=1。

あとは例題1の様に解きます

(x、y)=(-1、-2)、(-3、-4) 

$$(例題2-2)6x+5y+\frac {1}{2}xy+59=0 $$を満たす整数(x、y)の組を全て求めよ。

『xy』の係数が1でない場合です。

(例題2-1)と同じ流れで解くために、xyの係数が1になる様に式を◯倍します。

その後の解法は一緒です。

両辺2倍して12x+10y+xy+118=0

(x+10)(y+12)+118-120=0

(x+10)(y+12)=2

これを例題1と同様に解くと

(x、y)=(-8、-11),(-9、-10),(-11、-14),(-12、-13) 

ここでは、不定方程式の因数分解利用型の解法のうち、基本的な2+1パターンを紹介しました。

この他にも、いくつか応用の解法がありますが、最終的にはタイプ1に帰着します。

従ってまずこの記事で取り上げた解法をマスターし、発展問題へ進んで下さい。

不定方程式の解法(2)として条件式から絞り込む解法を紹介します

続いて以下の続編をご覧下さい!

第2回:「整数問題の解法(2):未知数を条件式から絞り込む方法

第3回:「一次不定方程式の解き方:ユークリッドの互除法を利用する型

今回もご覧いただき有難うございました。

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整数問題の定石の総まとめ記事は以下よりご覧下さい。

整数問題の解法・解説総まとめ」を読む。

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