三角関数の公式を丸暗記していませんか?

 

三角関数の公式は覚えるのでは無く、全て加法定理から導き出します。

以前の記事↓でも言及しましたが、三角関数は高校数学で“最重要の関数”です。

文系でセンターのみ使う人も、理系で数3まで必要な人も必須です。

しかし三角関数が苦手な人はとても多いです。その原因が曖昧な公式暗記から来ている生徒さんが多いので、この記事では、忘れず、最小の労力で、もしテスト中でど忘れしても思い出せる方法を執筆する事にしました。

三角関数の公式導出シリーズは↓にまとめています。

三角関数の公式導出/証明記事一覧

三角関数で一番大切な公式

一番大切な公式は、“加法定理”です

加法定理から全ての公式が導出できるので、それさえ攻略すれば、他の公式は導き方さえ分かればその場で作り出せます。

加法定理の作り方(証明)は↓(必ずご覧下さい)

全ての三角関数の公式のもと「加法定理」の証明

では、加法定理そのものは(当然証明出来るようにした上で)暗記すべきなのでしょうか?

これは様々な意見があると思います。

「毎回単位円を使って加法定理を作る→そこから変形して他の公式を導出」

という流れが教育的には望ましいですが、時間制限がある入試や模試では少し効率的ではない様に思います。

そこで筆者としては、

時間制限の無い普段は加法定理を作る所から始めて、それを繰り返して頭の中で加法定理を作れるくらいにspeed upすれば、加法定理のみ、覚えてしまっても良いと考えます。

加法定理の覚え方

但し、(±)は複号同順です。
但し、さいた=sin コスモス=cos です。

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

$$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $$

さいたこすもす±コスモスさいたと覚えて下さい。

cos(α±β)= cosα cosβ∓sinαsinβ

$$cos\left( \alpha \pm \beta \right) =cos\alpha cos\beta \mp \sin \alpha \sin \beta $$

コスモスコスモス∓サイタサイタと覚えてください。また±が∓に逆転している事に注意!

$$\tan \left( \alpha \pm \beta \right) =\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

(参考)タンぷらタンの(わる)1まいタンタン。

tanの加法定理の語呂は自分の覚えやすいものを使うと良いでしょう。

以上で加法定理は終わりです。符号と語呂に注意してこれらだけは暗記しておいて下さい。

いよいよ加法定理から他の三角関数の公式を導いていきます。

 

出来れば紙でもノートでもなんでも良いので流れを覚えるまで何度も書き写してみて下さい。

尚、今回は主にsinの時のみ扱うので cos、tanは自分で導出しておくようにして下さい!

1、加法定理から2倍角の公式を導く

sin2α=sin(α +α)=sinα cosα + cosαsinα

$$\begin{aligned}\sin \left( 2\alpha \right) =\sin \left( \alpha +\alpha \right) \\
=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha \\
=2\sin \alpha cos\alpha \end{aligned}$$

よって、sin2α=2sinα cosα

2、二倍角の公式から半角の公式を導く。

cos2α= cos2(α)-sin2(α) と、

sin2(α) + cos2(α)=1 より

cos2α=2 cos2(α)-1

ここで2α=Aと置くと、

$$\begin{aligned}cos2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1\\
2\alpha =A\\
cos^{2}\frac {A}{2}=\frac {1+\cos A}{2}\end{aligned}$$

cos 2 (A/2)=(1+ cos A)/2

3、三倍角の公式

これも加法定理より、

sin(α +2α)=sinα cos2α + cosαsin2α
=sinα{1-2sin2(α)}+2sinα{1- sin2( α)}
=3sinα–4sin3(α)

$$\begin{aligned}\sin \left( 3\alpha \right) \\
=sin\left( \alpha +2\alpha \right) \\
=\sin \alpha cos\left( 2\alpha \right) +cos\alpha \sin \left( 2\alpha \right) \\
=\sin \alpha \left( 1-2\sin ^{2}\alpha \right) +2\sin \alpha \left( 1-\sin ^{2}\alpha \right) \\
=3\sin \alpha -4sin^{3}\alpha \end{aligned}$$

よって、 sin3α=3sin–4sin3(α)

と導けます。

今回はここまでとします。

 

<複素数平面を学んでいる方向けに記事を追加>

ド・モアブルの定理から三角関数のn倍角の公式を導出する方法

必ず今日の内容を自分で手を動かして再現しておいてください。

 

何度か導いていると、結果的に自然と覚えている状態になります。

無理してはじめから覚えるよりも、こちらの方がすっと頭に入って来ますし、冒頭にも書いたように、

忘れても最悪「加法定理」だけ覚えていれば何とかなる(それも忘れた時のために、導出の練習はしておいて下さい)ので、是非マスターしてください!

三角関数の公式導出シリーズ一覧

積和/和積公式を覚えず導く方法

三角関数の合成:cos型で合成できますか?

三角関数の還元公式を覚えない方法

今日もご覧いただき有難うございました。

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