三角関数の公式を丸暗記していませんか?

タイトルで??となった人も多いのではないでしょうか。

多くの人が”語呂合わせ”など色々な工夫をして、三角関数の公式を覚えようとします。

しかし、実のところ最も早くかつ正確に公式を覚える方法は、「一回一回加法定理から導き出す事」なのです。

めんどくさそうに思うかもしれませんが、導出を繰り返しているうちに『勝手に覚えてしまう』ので、

重要な試験などの時は自然と使いこなせるようになっています。

さらに、もしど忘れしてしまっても導き方さえ知っていればその場で再び公式は作ることができるのです。

三角関数は高校数学で“最重要の関数”です。文系でセンターのみ使う人も、理系で数3まで必要な人も必須です。だからこそ、曖昧な公式暗記や語呂合わせといったことに時間を取られず、本質的な覚えないという覚え方を習得することで周囲に大きく差をつけることができるのです。

そろそろ、具体的な方法に移りましょう。

二倍角/三倍角/半角の公式と三角関数で一番大切な公式

加法定理(サイン・コサイン・タンジェント)

一番大切な公式は、“加法定理”です

加法定理から全ての公式が導出できるので、それさえ攻略すれば、

他の公式は導き方さえ分かればその場で作り出せます。

加法定理の作り方(証明)は↓(必ずご覧下さい)

全ての三角関数の公式のもと「加法定理」の証明

では、加法定理そのものは(当然証明出来るようにした上で)暗記すべきなのでしょうか?

これは様々な意見があると思います。

「毎回単位円を使って加法定理を作る→そこから変形して他の公式を導出」

という流れが教育的には望ましいですが、時間制限がある入試や模試では少し効率的ではない様に思います。

そこで筆者としては、

時間制限の無い普段は加法定理を作る所から始めて、それを繰り返して頭の中で加法定理を作れるくらいにspeed upすれば、加法定理のみ、覚えてしまっても良いと考えます。

加法定理の覚え方

但し、(±)は複号同順で、さいた=sin コスモス=cos です。

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

$$\sin( α \pmβ) =\sinα\cosβ \pm \cos α \sinβ $$

さいたこすもす±コスモスさいたと覚えて下さい。

cos(α±β)= cosα cosβ∓sinαsinβ

$$cos( α \pm β) =cosα cosβ \mp \sin α \sinβ $$

コスモスコスモス∓サイタサイタと覚えてください。また±が∓に逆転している事に注意!

$$\tan(α\pmβ) =\frac {\tanα \pm \tanβ }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

(参考)タンぷらタンの(わる)1まいタンタン。

tanの加法定理の語呂は自分の覚えやすいものを使うと良いでしょう。

以上で加法定理は終わりです。符号と語呂に注意してこれらだけは暗記しておいて下さい。

いよいよ加法定理から二倍角の公式を導きます

出来れば紙でもノートでもなんでも良いので流れを覚えるまで何度も書き写してみて下さい。

尚、今回は主にsinの時のみ扱うので cos、tanは自分で導出しておくようにして下さい!

二倍角の公式を導く

二倍角は、加法定理のα+βのβをαにすれば簡単に導くことができます。

sin2α=sin(α +α)=sinα cosα + cosαsinα

$$\begin{aligned}\sin ( 2α) =\sin (α+α) \\
=\sinα \cosα +\cosα \sinα \\
=2\sin α cosα \end{aligned}$$

よって、サインの2倍角の公式は、sin2α=2sinα cosα

二倍角の公式

<二倍角の公式一覧>

半角の公式は二倍角の公式から導く

cos2α= cos2(α)-sin2(α) と、(コサインの二倍角)

sin2(α) + cos2(α)=1 より(相互関係)

cos2α=2 cos2(α)-1(コサインの二倍角は3通りあるので注意!)

ここで2α=Aとおくと、

$$\begin{aligned}cos2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1\\
2\alpha =A\\
cos^{2}\frac {A}{2}=\frac {1+\cos A}{2}\end{aligned}$$

よって、半角の公式は:cos 2 (A/2)=(1+ cos A)/2

3倍角と半角の公式一覧

<三倍角の公式と半角の公式>

※ちなみに、tanの半角は三角関数の相互関係を使って、$$tanの半角公式=\frac {sinの半角公式}{cosの半角公式}$$で導けます。

三倍角の公式も加法定理から・・・

これも加法定理より、

sin(α+2α)=sinα cos2α + cosαsin2α
=sinα{1-2sin2(α)}+2sinα{1- sin2( α)}
=3sinα–4sin3(α)

$$\begin{aligned}\sin ( 3α ) =sin(α+2α) \\
=\sin α cos(2α) +cosα \sin (2α) \\
=\sin α(1-2\sin ^{2}α ) +2\sinα( 1-\sin ^{2}α ) \\
=3\sin \alpha -4sin^{3}\alpha \end{aligned}$$

よって、サインの三倍角は sin3α=3sinα–4sin3(α)

と導けます。

※ちなみに、sinの3倍角に登場するのはsinのみ、cosの3倍角も右辺はcosのみ、tanの3倍角も同様に右辺はtanのみ、と3倍角の公式は(左辺の三角関数の種類)=(右辺の三角関数の種類)だけで表せることを頭の片隅に置いておくと良いかも知れません。

この他の積和・和積公式や還元公式、三角関数の合成を同様に『覚えず導く』方法をまとめたページを作成しました。

>>「三角関数の公式の証明と覚えず導く方法総まとめページ」<<是非続けてご覧ください!

<複素数平面を学んでいる方向けに記事を追加>

ド・モアブルの定理から三角関数のn倍角の公式を導出する方法

必ず今日の内容を自分で手を動かして再現しておいてください。

繰り返しになりますが、冒頭でも書いたように、何度か導いていると”結果的に自然と覚えている状態”になります。

無理してはじめから覚えるよりも、こちらの方がすっと頭に入って来ますし、忘れても最悪「加法定理」だけ覚えていれば何とかなる(それも忘れた時のために、導出の練習はしておいて下さい)ので、是非マスターしてください!

三角関数の公式導出シリーズ一覧

今回は、倍角公式を扱いました。残りは以下の記事で同様に導くことができます。

積和の公式/和積の公式を覚えず導く方法

三角関数の合成:cos型で合成できますか?

還元公式とは、”余角・負角・補角”の各公式の総称です。

例えば、sin(π-θ)=?や、cos(π/2+θ )=?と言った角度(弧度)の部分を変換する際に用います。

三角関数の還元公式を覚えない方法

今日もご覧いただき有難うございました。

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