今回は確率の融合問題を取り上げます。

 

このサイトでも度々取り上げているように、

場合の数・確率分野は、あらゆる分野と融合した問題が作られます

(この記事の終わりに、融合問題のINDEXを作っておきますので是非ご利用下さい)

従って場合の数と確率の分野で得点を安定させるには、そのほかの分野もまんべんなくできる様にしておかなければいけません。

ところが、入試は数学だけでは無い上”まんべんなく”得意にすると言うのも中々難しいです。

そこで、良質な融合問題を解く事によって自分の苦手分野を発見したり、他の分野も解ける様になるなど一石二鳥、三鳥が狙えます。

 

これは、英語の長文を1日1題毎日解くことで、単語やイディオム・文法・解釈などが一気にメンテナンス出来たり、上達するのと良く似ています。

 

更に「言語」である英語と違って、

数学はしばらく触れていないと特に感覚が鈍ってしまうので、他の科目を集中して解いている日でも、

数学は最低大問ひとつは解いておくべきです。とは言え数学の範囲は広いですから、どの問題や範囲を解くべきか迷ってしまう事も少なくありません。

そこで、タイトルの通り、融合問題;特に良問が揃っていて、難関大も好んで出題する確率と他分野の融合問題をピックアップしておく

解くべき問題に悩む事無く効率的に数学に触れ続けることができます。

 

では実際に始めてみましょう。

15分くらい時間をとって、解いてみて下さい。

その際、問題を解くにあたって重要な“キーワード”をチェックしながら進めていきましょう。

(5〜6分考えても、全くわからない場合は直ぐ下の解説へ)

 

サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1、p2、p3とし、xの2次方程式

$$2p_{1}x^{2}+p_{2}x+2p_{3}=0・・・※$$

(1)方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ

(2)方程式(*)が虚数解α、βを持ち、かつαβ=1が成り立つ確率を求めよ             東北大(改)

 

今回は、解と係数の関係、複素数、との融合問題です。演習の価値としても題材としても丁度いいレベルの良問です。

キーワードを探せ!

解説;(問1)の"キーワード"は実数解です。

この問題文を見たら、

頭の中で実数解→判別式D≧0 と直ぐ変換します。

$$D=P^{2}_{2}-4\left( 2P_{1}\right) \left( 2P_{3}\right) ≥0$$

D=p2^2ー4・(2p1)(2p3)≧0

p2^2≧16p1p3  両辺共に正より、ルートを取ると、p2≧4√p1・p3 $$P_{2}≥ 4\sqrt {P_{1}P_{3}}$$

更に、p1、p3共に1以上なので、p2は必ず4以上である。(又p1、p2、p3は全てサイコロの目だから1以上6以下)

ここで、p2は4、5、6の何れかなので場合分けします。

(a)p2=4の時、(p1、p3)を満たすのは(1、1)のみ

(b)p2=5の時、(p1、p3)を満たすのは(1、1)のみ

(c)p2=6の時、(p1、p3)を満たすのは、

(1、2)、(2、1)、(1、1)

よって、(1+1+3)/6^3=5/216。

 

解説(問2);

この問いの"キーワード"は、

「虚数解2つ」「αβ=1」です。

「二次方程式」且つ解「αβやα+β」が出て来たら「解と係数の関係」を使う可能性大です。

更に「虚数解2つ」⇔「2解は共役」かつ「判別式D<0」も頭に入れておきましょう。

判別式:D=p2^2ー4(2p1)(2p3)<0 $$D=P^{2}_{2}-\left( 2P_{1}\right) \left( 2P_{3}\right) <0$$

p2^2<16p1p3 両辺共に正なのでルートを取ってp2<4√p1、p3・・・#1

更に、解と係数の関係より、αβ=1だから

$$\frac {2P_{3}}{2P_{1}}=1$$、p1、p3は共に正なので

p1=p3・・・#2

#1に#2を代入するとp2<4p1

ここで以下の2つに場合分けします。

(d)p1=p3=1 の時、p2=1、2、3

(e)p1=p3が 2、3、4、5、6の時、

p2<8、12・・・となるので、2〜6に対してp2は1〜6のいずれかをとる。

ゆえに、$$ \frac {\left\{ 3+\left( 5\times 6\right) \right\} }{6^{3}}$$

$$\frac {33}{216}=\frac {11}{72}$$

 

いかがでしたか?冒頭でも述べましたが、

融合問題を解くことは

1,効率、

2,メンテナンス、

3,難関大対策

の面でメリットが大きいです。

 

今後も良質な融合問題を紹介・解説していきます。また、既に記事にしているものは以下にまとめたので、

是非一日一題ずつでも解いて見て下さい。

今日も読んでいただきありがとうございます!

 

数学良問集(一部融合問題でないが、その題材になるので知っておくべき問題も含めています)

 

場合の数と確率の解法解説総まとめ

整数問題をセンスなしで解くための解法10選

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