等式/不等式との融合問題のパターンを網羅して行きます。

前回の重複組合せ記事↓の応用例として、整数分野との融合問題を開設していきます

どんな重複組合せ問題でも解けるたった一つの解法

一度は見たことがあるはず!頻出問題

重複組合せで不等式を満たす整数の組数を求める

以下の式・不等式を満たす整数x、y、zの組み合わせの数を求めよ

$$問1x+y+z=8\left( x,y,z > 0\right)$$

$$問2x+y+z=8\left( x,y,z≥0\right) $$

$$問3x+y+z≤8\left( x,y,z≥0\right) $$

$$問4x+y+z=8\left( x,y,z≥-1\right) $$

いずれも条件式が少しずつ違っています。基本的には丸仕切り法(筆者の勝手な命名です^^;答案用紙には書かないで下さい)を使って解いていくので、重複組合せに必要なたった一つの考え方】を読んでいない方は、先にそちらを読んでもらえるとスムーズに進みます。

同時に、一度は経験しておかないと模試や本番テスト中に思いつきにくい解法も紹介します。

 

では1つ目の問題です。$$x+y+z=8\left( x,y,z > 0\right)$$

この問題は、丸仕切り法をマスターした皆さんなら楽勝だと思いますが、、復習も兼ねて解いて見ましょう。

これは、x、y、zに8つの丸を分け与え、かつ全員が0より大きい整数、つまり1個以上の丸を貰える問題に読み替えることができます。(以降x、y、zを擬人化します)

この時、先に、一つずつ丸を配って置いて、残りの5つの丸と2つの仕切りを7つの場所に配置する組み合わせの数を求めれば良いのでした。

(ここで重要なのは、先に丸を並べておいて、丸の間と両端の6箇所から仕切りを入れる2箇所を選ぶのではない、と言う事です

従って、7c2または同じものを並べる順列と考えて7!/(5!2!)より、21通り//が答えとなります。

 

2番目は、$$x+y+z=8\left( x,y,z≥0\right) $$

こちらの方が最初の問題より更にやさしいはずです。条件式より、x、y、zに配る丸が0個の人がいてもいいので、先に配っておく手間が省けます。8つの丸と2つの仕切りを10箇所に配置するので、10c2=45

こちらも、同じものを並べる順列より10!/8!2!=45 でも構いません。 よって45通り//

 

3番目は、$$x+y+z≤8\left( x,y,z≥0\right) $$

 

これは少し様子が違います。x、y、zの和が8以下にしなければなりません。

このままでは、丸仕切り法は使えないですし、和が3の時、4の時、5の時、、、、

なんて場合分けして計算していたら時間がかかり過ぎます。

 

この問題は、「一度解いておかないと初見では難しい」タイプです。

technic1:重複組合せで丸仕切り法が使えない時、ゴミ箱を設置せよ!

今日最大のポイントです。これも筆者の命名なので正式には書かないで下さいd( ̄  ̄)

ゴミ箱法とは、この問いの様に「以下」が使われている時、場合分けせずに第二問と同じ解き方ができる方法です。

具体例としては、8以下なので、x+y+z=5 の時、残った3つを新しい数字に入れてやる(wと置くことにします)

、$$x+y+z+w=8\left( x,y,z,w≥0\right) $$ という問題におきかえることができます。

8個は必ず配って、余った分をゴミ箱(w)に入れる感じなのでゴミ箱法としました。

 

この様にwをおいてあげると、第二問の配られる人が3から4に増えただけで、

丸仕切り法で解くことができます。

8つの丸を4人に配って、一個ももらえない人がいても良いので

8個の丸と仕切りが3つ。

従って11c3=165(通り);あるいは11!/(8!3!) でも同じ答えが出ます。

 

4問目$$x+y+z=8\left( x,y,z≥-1\right) $$

 

今度は−1でも良いらしいです。困りました。丸を−1個配ることなど出来ません・・・

が!

ココで今日のtechnic2;条件式を都合がいい様に改造せよ!

X’=x+1,   Y'=y+1,   Z'=z+1  と各文字に1足した文字を作ります。

すると、$$X'+Y'+Z'=11\left( X',Y',Z'≥0\right) $$とすることが出来ます。

具体的に見ていくと、条件が各々−1以上だったので、新しい文字に変換して1足すことによって条件が0以上となり、これまでと同様に解ける様になりました

ただし、x、y、zに1ずつ加えているのでX'+Y'+Z'=8+1+1+1=11 

配る数の方も1×3=3加えることを忘れずに。ココまできたら問2と同じですね。11個の丸と2つの仕切りより、

13C2=78(通り)//同じものを並べる順列でもokです。

 

 

いかがでしたか?整数の等式不等式と場合の数の融合問題は今日の4題でほぼ網羅できます。

ココにない少し条件が違うものが出題されても、ゴミ箱法や改造したことを思い出して、問2の形にする事を考えれば糸口が見つかります!

ぜひ自分のものにして応用できる様に復習しておいて下さい。

 

今日もお疲れ様でした。

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