反復試行の確率とその最大値

今回は入試でも良く問われる、

反復試行の確率とその「確率の最大値」

の解法を例題を通して習得していきます。

反復試行とは

(独立)反復試行とは、同じ条件の下他の回の影響を受けない(独立)試行を繰り返す(反復する)を言います。

(例)同じサイコロを何度も振る;袋から球を取り出して記録し袋に戻し又取り出て・・・を繰り返す;など。

反復試行の確率の公式

サイコロやコイン投げを想像しながら読んでみてください。(カッコ内は具体的な例です)

公式と具体例

いま事象P(3の目が出ることとする)の確率をp(3の目が出る確率=\frac{1}{6})とし、これを繰り返し(n回)行ったときに【k回】Pが起こる(3の目が出る)確率は、

$$P_{反復試行}=p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot {}_n\mathrm{C}_{k}$$

で求めることが出来ます。

一見するとよくわからない、難しそう・・・と避ける人がいますが、それは非常にもったいないです!

これから、一つ一つの要素にわけて詳しく解説します。

なぜこの公式で反復試行の確率が求まるのか

カッコ内の具体例をもとに、このヤヤコシイ公式の意味を考えていきましょう。

\(p^{k}\)について・・・(1)

全部でn回サイコロを振る中で、その内“k回”3の目が出るという事は、

1/6がk回起こる→(1/6)のk乗を計算する。

一般化すると、\(p^{k}\)。

ここはそんなに悩む事はないはずです。問題は次からの(2)と(3)です。

\((1-p)^{n-k}\)について【余事象】(2)

ここでは、3以外の目が出る(これを余事象の確率と言いました。)ことを考えます。

n回中k回《3の目が出る》という事

→【全部の試行=n回からk回を引いた《(n-k回)は3以外が出る》】

→(1,2,4,5,6)のいずれかが出る確率は(5/6)で、これは(1-p=1-1/6)と一致します。

これが、\((1-p)^{n-k}\)の意味です。

\({}_n\mathrm{C}_{k}\)について・・・(3)コンビネーションの意味と理由

これはコンビネーションのCです。曖昧な人は→『順列と組み合わせ・PとCの違い』を読んでみてください。

コンビネーションが出てくることに疑問を持つ人がいるのですが、

次のように考えます:

pはk回、(1-p)は(n-k)回起こるのだったので、n回のうちk回がどこに入るかを選ぶ(順番は考えないので、順列のPではなくて組み合わせのCを用いる)というイメージです。

これらの積(積の法則:独立試行)

(1)と(2)は同時に起こる事はあり得ません。

これを”独立”と言い、積の法則で確率を計算します。すなわち\((1)\times(2)\times(3)\)

ではここから、例題を通して定着させていきましょう。

反復試行の例題

(例題1)サイコロを同時に4個投げるとき、6の目が2個出る確率を求めよ。

念のため確認:場合の数と確率の大きな違いの一つに、場合の数の時には区別しなかったものを、確率では区別する。と言うものがあります。

基本的に確率分野では、全て異なるものとして計算する事をお勧めします。

(解答1)

確率の問題なので、問題文に何も書かれていなくてもサイコロA、サイコロB・・・と区別して考えます。

まず、

6の目が出る確率が(1/6)

6以外の目が出る確率は(5/6)

4個のサイコロの内どの2つのサイコロが6の目が出るかは、(4C2)

で計算出来ます。

これらを合わせて、(4C2)×(1/6)2×(5/6)2 =(4・3)(5・5)/(2・1)(64)=25/216

よって、25/216・・・(答)

反復試行の確率+最大値の例題

数列との融合問題でも有りますが、今回は漸化式を解いたりするわけでは無いので、基礎的な理解が出来ていれば充分です。

本格的な確率分野と数列分野の融合問題は、確率漸化式で扱います。興味があれば「数列と確率の融合!確率漸化式入門をご覧下さい!

(例題2)

(1/3)の確率で当たりが出るくじを引いて、当落を記録し、またくじを戻す事をn回繰り返す時、当たりが3回出る確率が最大になるnを求めよ。

 

(解答)

これは、「反復試行の確率の最大」としてよく問われる問題です。

n回中3回当たるので、コンビネーションを使って、どの回で当たるかの選び方が、(nC3)

この場合、3回あたり、(n-3)回ハズレるので、(1/3)3×(1-1/3)(n-3)

よってこの例題の確率(Pnと置きます)は、

$$p_{n}=nC_{3}\times (\frac {1}{3})^{3}\times (1-\frac {1}{3})^{n-3}$$

Pn=(nC3)(1/3)^3*(1-1/3)^(n-3)と表せます。・・・#1

ここで今日の

必須technic1:確率の最大値を求める時は、n回目とn+1回目を比べる。

これは、Pnが最大の時を求めたいので、

P1<P2<・・・<Pn>Pn+1>Pn+2>・・・とPnまでは確率が増加し、Pn+1以降は確率が減少していく必要があります。

technic1+α;Pn+1ーPnと差をとる

nが幾つの時を境に差が正から負に変わるかを調べていきます。

@ここから計算量が増えるので、ミスに気をつけて下さい

。又、スマートフォンでご覧の方で数式が見切れている場合は、

縦画面から横画面にして頂くときちんと表示されます。@

#1より、$$p_{n+1}=(n+1) C_{3}×(\frac {1}{3}) ^{3}×(\frac {2}{3}) ^{n-2}$$
Pn+1=(n+1C3)(1/3)^3*(1-1/3)^(n+1-3)

$$p_{n}=nC_{3}× (\frac {1}{3}) ^{3}\times ( 1-\frac {1}{3})^{n-3}$$

Pn=(nC3)(1/3)^3*(1-1/3)^(n-3)

$$p_{n+1}-p_{n}=[\frac {( n+1)×(n)×( n-1) }{6}]× (\frac {1}{3})^{3}× ( \frac {2}{3})^{n-2}$$

$$-[\frac {n(n-1)(n-2)}{6}] \times ( \frac {1}{3}) ^{3}\times (\frac {2}{3}) ^{n-3}$$

$$=[ \frac {n×(n-1) }{6×27}×( \frac {2}{3})^{n-3}] (\frac {8-n}{3}) $$

 

Pn+1-Pn
={(n+1)(n)(n-1)/(6)}{(1/27)(2/3)^(n-2)}
ー{(n)(n-1)(n-2)/(6)}{(1/27)(2/3)^(n-3)}
={n(n-1)/182}{(2/3)^(n-3)}{(8-n)/3}

$$ここで、[ \frac {n×(n-1) }{6×27}\times ( \frac {2}{3})^{n-3}]$$ は常に正だから、

$$\frac {8-n}{3}に注目すると、$$

n<8でPn+1>Pn
n=8でPn+1=Pn
n>8でPn+1<Pn

となり、n=8の時、即ちP9=P8で最大になる事がわかります。従って(Ans, n=8、9)//

因みに・・・実際にP8とP9を計算してみると、
共に$$( \frac {2^{8}× 7}{3^{8}}) の確率で最大になります。$$

まとめと反復試行の確率の関連記事へ

いかがでしたか?

・確率の最大系の問題は、Pnを表せれば、後はPn+1と比べるのが定石です。

・今回はPn+1とPnの差を使いましたがPn+1/Pnの様に割って解く方法もあります。

また、反復試行の問題は、様々な類題があるので少しづついろいろなパターンを網羅していきます。

>>「確率を】場合の数と確率の総まとめ【得点源に】」<<

であらゆる場合の数と確率の問題を解説しています。是非ご覧下さい!

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