整数問題のコツ(2)実験してみる

 

今回は整数問題の解法整理と演習(1)の続編です。

前回の3道具をどのように応用するかチェックしつつ、更に小道具(発想のポイント!)を増やして行きます。

まだ第一回を読んでいない方は、先に1行目にあるリンクから読んで来てください。

 

では、早速始めたいと思います。

整数攻略の3道具

一、因数分解/素因数分解→場合分け

二、絞り込み(判別式、不等式の利用、etc...)

三、余りで分類(合同式、etc...)

 

でした。それぞれの詳細な使い方はすぐ引き出せるようにしておきましょう。

早速実践問題と共に色々なワザを身に付けて行きましょう!

n3-7n+9が素数となるような整数nを全て求めよ。                    18‘ 京大(文理共通)

 

今回も一橋と並び文系数学最高峰の京大の問題です。(この問題は文理共通でした)

レベルはやや易です。

皆さんはどう解いて行きますか?

・・・5分ほど考えてみて下さい。

 

・・・では再開します。

とりあえず、n3-7n+9=P・・・#1と置きます。

先ずは道具その一、因数分解を使うことを考えます。(筆者はそう考えました)

しかしながら、直ぐに簡単には因数分解出来ない事に気付きます。

では、その二or三に進むべきでしょうか。

もう少し粘ってみましょう。

(三の方針を使って解くことも出来ます。)

因数分解出来なくても、因数分解モドキは作ることはできそうです。(=平方完成の様に)

n3があるので(n+a)(n+b)(n+c)の様にします。

ただし、この(a、b、c)を文字のまま置いておく

訳にはいかないので、実験します!

確率、整数、数列etc...難問にぶつかったら実験です。

#1はn3-7n+9=P だったので、nに1、2、3

と入れてみると、P=3、3、15、

更にー1、ー2、ー3を代入すると、15、15、3

となるので、Pは3の倍数になる様です。

(この時点で、P=3という予想は付きますが、3の倍数である事を示す必要があります。)

そこで、小道具として頭に置いておきたい事として、『(n-1)(n)(n+1):連続する3整数の積は3の倍数になる。』と言う式を使うことにします。

P=(n-1)(n)(n+1)+n-7n+9・・・#2

P=(n-1)(n)(n+1)−3(2n−3)・・・#3

 

#3の様に変形出来ました!上記の通り連続する3整数の積は3の倍数であることと、

当然{-3(2n-3)}も3の倍数ですから、Pは3の倍数かつ素数であると言えます。

このPを満たす数は3しかないので

、P=3・・・#4 が言えます。

(これで、あとは三次方程式を解くだけです)

 

後は#1に#4を代入して解くと、

3=n3-7n+9 ⇔ 0=n3ー7n+6 因数定理よりn=1を解に持つので、 0=(nー1)(nー2)(n+3)

従ってn=1、2、-3//

 

どうでしたか?シンプルな問で、演習にも丁度良いレベルです。

今回のテーマは「実験」でした。

難しい分野/大学に成るほど頭で考えていても解法が思いつかない事が多いです。

特に数列や整数、場合の数と確率分野では任意の数字を代入してみる。これで規則性などの特徴を捉えて、解答の糸口にする!が鉄則です。

お疲れ様でした。

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今回もご覧いただき有難うございました。

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