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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

減衰曲線とその面積・応用

<この記事の内容>:いわゆる「減衰曲線」と意味とグラフのイメージ、さらに曲線と軸が囲む面積を求める方法を紹介しています。

<関連分野の記事>:「数学Ⅱ・Ⅲ微分・積分まとめページ

減衰曲線とは?

$$y=\int_{\alpha}^{\beta}(xの関数)\sin x dx$$で表されるような、徐々にx軸に近づいていく(受験問題では、“減衰はしていませんが”逆に徐々に大きく振動するような場合もあります。)曲線のことを言います。

基本的なグラフ

減衰曲線の中でも最頻出の\(y=e^{x}\sin x\)のグラフは以下の様になります。

\(y=e^{-x}\cdot\sin x dx\)

減衰曲線のイメージ1(縦方向に拡大)

<図1>

(※:実際には、\(e^{-x}\)は急速に0に近付く為、上の図では上下方向に拡大しています。)

物理などでの応用(単振動と摩擦)

減衰曲線は数学だけでなく、様々な分野で登場しますが、高校で学ぶ範囲では、物理(力学)の「摩擦のある単振動」における物体の運動などがこれに当てはまります。

減衰曲線とx軸との面積を求める方法

ここからメインとなる求積問題の解説をしていきます。

\(e^{-x}|\sin x|\)の求積問題

問題1:\(y=e^{-x}|\sin x|\)とx軸が囲む面積を求めよ。

上の問題の三角関数の部分だけに絶対値をつけてみます。

ちょうどx軸から下の部分を全部折り返すので、グラフは以下のようになります。

絶対値をつけて折り返したグラフ(e-xsinx)

<図2:絶対値付きの減衰曲線の関数のグラフ>

解答とその流れ

まず、以下の<図3>のように3つの段階を経てときます。

stepⅠ:1つ分の面積を(数列)の式であらわし→

stepⅡ:その数列の1からnまでの総和Snを求め→

stepⅢ:最終的にその極限を計算します。

(※:下図右の②は\(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\)です。)

減衰曲線とx軸の間の面積の求め方の手順図

<図3:求積の手順>

step1:一つ分\(a_{k}\)山一個分の面積を求める

まず始めにk番目の面積(図3の青色で塗ってある部分):これを\(a_{k}とする\)を求めていきます。

$$a_{k}=\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}e^{-x}|\sin x| dx$$・・・(式1)

置換積分のコツ

上の式を計算すればakが求まりますが、積分区間に”k"、"k-1"が混ざっています。

このような時は、積分区間がきれいになるように新たに文字を置くことが重要です。

ここでは、\(u=x-(k-1)\pi \)という関係を満たす文字"u"を使います。

※:こんな文字の置き換えは思いつかない!という人は「複雑な範囲が、”0”や”π”になるにはどうすればいいか?」を考えてみると良いです。

uで置き換え

\(u=x-(k-1)\pi \)より、\(x=u+(k-1)\pi\)なので、(式1)のxに代入し、$$\frac{du}{dx}=1$$なので、uで置換すると

$$a_{k}=\int_{0}^{\pi}e^{-(u+(k-1)\pi)}|\sin (u+(k-1)\pi)|du$$

 

\(\sin (u+\pi)=\sin u \)「三角関数の還元公式(θ+90°),(θ±π)など」かつ、\(0→\pi \)においてサインは常に0以上なので、絶対値を外すことができます。

さらに、eの指数部分の内"u"に関係のない部分は前に出せるので、

$$a_{k}=e^{-\pi(k-1)}\int_{0}^{\pi}e^{-u}\sin u du$$

ここで、上の定積分を行います。

(指数)×(三角関数)の積分のコツ【ペアを作れ!】

指数関数×三角関数 の積分は、もちろん部分積分を用いても可能ですが、『ペアを作って→足したり引いたりする』ことによって楽に求めることができます。(「和積や積和の公式を作る時」と似ています。)

具体的に\(e^{-u}\sin u\)の積分を行うときは、

\(A=e^{-u}\sin u \)と\(B=e^{-u}\cos u \)として、A,Bをそれぞれ微分し、

\(A'=-e^{-u}\sin u+e^{-u}\cos u\)

\(B'=-e^{-u}\cos u-e^{-u}\sin u\)

A'+B'をした上で両辺を2で割り、

\(A'+B'=(A+B)'=-2e^{-u}\sin u\)

両辺を積分することで、

$$ -\frac{(A+B)}{2}=\int e^{-u}\sin u dx$$

と求めることができます。

したがって、$$e^{-(k-1)\pi}[-\frac{e^{-u}(\sin u +\cos u)}{2}]_{0}^{\pi}$$

これを計算すると、$$a_{k}=(\frac{-e^{\pi}+1}{2})\times e^{-(k-1)\pi}$$

stepⅡ:\(a_{1}\)から\(a_{n}\)までの総和を求める

次に、\(a_{k}\)をよくみると、\(e^{-(k-1)\pi}\)の部分が初項1、公比\(e^{-\pi}\)の等比数列になっていることがわかります。

そこで、k=1からnまでの和を求めると

$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$$

$$\frac{-e^{\pi}+1}{2}\cdot \sum_{k=1}^{n}(e^{-\pi})^{k-1}$$

等比数列の和の公式」より、

$$S_{n}=\frac{(1+e^{-\pi})(1-(e^{-\pi})^{n})}{2-2e^{-\pi}}$$

・・・これがstepⅡの答えです。

stepⅢ:Snの極限をとる

いよいよラストです。部分和Snのnを∞にすることで、全ての面積を求めることができます。

\(\lim_{n\rightarrow\infty}Sn\)

において、\((e^{-\pi})^{n}\)の部分は0に収束し、

最終的に残るのは、$$\frac{1+e^{-\pi}}{2-2e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}+1}{2e^{\pi}-2}$$

なので、\(y=e^{-x}|\sin x|\)とx軸で囲まれた部分の面積は$$\frac{e^{\pi}+1}{2e^{\pi}-2}$$

・・・が答です。

減衰曲線と面積まとめ

このレベルの問題になってくると、計算や置換積分などに工夫が必要で、ミスもしやすくなります。

解法の3stepを理解したら、繰り返し自分で問題を解いて、【素早く・正確】に答えまでたどり着ける様に頑張りましょう!

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今回も最後までご覧いただき、ありがとうございました。

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