積和/和積の公式が暗記厳禁な理由とその対策

当然暗記不要!必要なものは”加法定理”オンリーです。「覚え方や語呂合わせ」に労力をかけずに、和積の公式、積和の公式をその場で作り出す方法を解説します。

 

加法定理の導き方と他の三角関数の公式は

加法定理の証明法

もう三角関数の公式は覚えない!その理由と方法

て、第一回の流れは自分で導けるようになりましたか?

積和の公式・和積の公式を覚えてはいけない理由

和積・積和の公式は主に文系上位と理系には必須です。

数3の積分では和積・積和をよく使って式変形しますし、文系でも知っていればアドバンテージになる問題が出ることがあります。

これは文系の難関校のみならず、実はセンター試験数2Bでもこれを知っていれば、閃きが無くても何とか突破できた出題があったのです。

それは2015年度数ⅡB 大問1です。何とこの年全国平均は39点でした!(当然過去最低点)

この様な大惨事になった原因が大問1の三角関数で、多く受験生にとって初見の問題でペースを乱したのですが、

積和を知っていれば、何とか乗り切れたはずの問でした。

積和/和積の公式を覚えてはいけないワケ

(1)数ある三角関数の公式のなかでも恐らく最も複雑な上、種類も多いので暗記してしまうのに労力がかかり時間が無駄になる。

(2)試験中など重要な時に符号や順番などを「ど忘れ」してしまうと、その問題が解けないだけでなく焦りが生じてそれ以外の問題にも影響する。

では覚えないで済む対策を解説していきます。

積和の公式を加法定理から作る

積和の公式は文字通り三角関数の積を三角関数の和(or差)に変える道具です。

$$\begin{aligned}\sin \alpha cos\beta =\frac {1}{2}\left\{ \sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) \right\} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\cos\alpha \sin \beta =\frac {1}{2}\left\{ sin\left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) \right\} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\cos \alpha \cos \beta =\frac {1}{2}\left\{ \cos \left(\alpha +\beta \right) +\cos \left( \alpha -\beta \right) \right\} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\sin \alpha sin\beta =-\frac {1}{2}\left\{ \cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right) \right\} \end{aligned}$$

 

例)sinα cosβ=1/2{sin(α +β)+sin(α-β)}

あと残り3つ[ cosαsinβ型とsinαsinβ型と cosα cosβ型があります]

導出:ここでは加法定理を2つ用意します。

sin(α+β)=sinα cosβ + cosαsinβ...#1と置く
sin(α–β)=sinα cosβ- cosαsinβ...#2と置く

#1と#2を足すと、、、

sin(α+β) +sin(α-β)=2sinα cosβ
両辺2で割って、
sinα cosβ=1/2{sin(α +β)+sin(α-β)}
が導けました。

兎に角、積和の公式は加法定理を2つ用意して、足すか引くのどちらかを行った後、2で割ると導出できるので、残りも自分で導出しておいてください!

和積の公式の作り方

和積の公式は三角関数の和(or差)を三角関数の積に変えるものです。

$$sinA+sinB=2\sin \frac {A+B}{2}\cos \frac {A-B}{2}$$

$$sinA-sinB=2\cos\frac {A+B}{2}\sin \frac {A-B}{2}$$

$$cosA+cosB=2\cos\frac {A+B}{2}\cos\frac {A-B}{2}$$

$$cosA-cosB=-2\sin\frac {A+B}{2}\sin \frac {A-B}{2}$$

例) sinx+siny=2sin{(x+y)/2} cos{(x-y)/2}

さて導出して行きましょう。
和積の公式は先に積和の公式を書いておき、
sinα cosβ=1/2{sin(α +β)+sin(α-β)}•••#1

α=(x +y)/2、β=(x -y)/2 •••#2と置く

•••#1 に •••#2を代入すると、
sinx+siny=2sin{(x+y)/2} cos{(x-y)/2}
が導出出来ます。

和積の公式は積和を使う為、ワンランクややこしくなりますが、何度も自分で再現して下さい。

ノートや綺麗な紙に書く必要はなく、字も殴り書きの様で良いです。

(ただしここでの「繰り返して書く」と言うのは、ただ公式を何十回も書き写すと言う事では無く手順を思い出しながら書くと言う意味です。)

例:まず加法定理を2つ用意して、その2つを足して2に割った後にα=(x+y)/2と置いて、、、と言う風にです。

 

第2回迄で、二倍角、三倍角、半角、積和/和積を扱える様になりました。
しっかり自分の物にするまで何回もページを見て暗記ではなく導出できるようにして行きましょう。

 

第三回は三角関数の還元公式を扱います。(記事完成しました)

還元公式とは、別名:余角の公式、補角の公式、負角の公式などと呼ばれている物の総称です。20種類以上ありますが、

これらも暗記ゼロで済む方法を紹介しています。下リンクよりご覧下さい。

三角関数の還元公式の暗記量を0にする方法

お疲れ様でした。m(__)m

 

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