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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

弧長/曲線の長さの求め方(数学Ⅲ:積分法の応用)

<この記事の内容>:”面積・体積”とともに、積分法の応用としてよく出題される『弧長』の求め方の意味を解説し、練習問題で定着させます。

<参考記事>:「数学Ⅲ:微積分とその応用まとめ

弧長の求め方

弧長について、「求め方のイメージ」→「公式”2”パターン」→「確認問題」の順に解説していきます。

グラフとイメージ

弧長が求まる仕組みを始めに理解しておきましょう。

弧長の計算(近似のイメージ)図

<図1:曲線の長さが求まる仕組み>

上の図のように、曲線部分を青色の\(\Delta x、\Delta y \)と青色点線の\(\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}\)の三角形で近似し、どんどんΔを0に近づけます。

結果的に、xでの弧長は\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)とあらわす事が出来ます。↓次へ↓

曲線の長さの公式

ここから、上で立式した:微小な線分(式1)を『任意の区間分だけ集める=定積分を行う』事によって、求めたい曲線の長さが計算出来ます。

(パターン1):ここでは、y=f(x)の『関数のカタチ』でグラフの式が与えられている場合と、

(パターン2):媒介変数(パラメータ)表示されている場合、

のそれぞれの公式を導きます。

(パラメータ表示については→「”媒介変数(パラメータ)表示”された関数の”グラフ”と面積」で詳しく紹介しています。)

関数表示の場合(パターン1)

関数y=f(x)のグラフ上でx1からx2までの曲線の長さを求める公式は

$$\int_{x1}^{x2}\sqrt{1+(f‘(x))^{2}}dx$$

なぜこの様な式になるのか、\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)から変形していきます。

”dx“をルートの外に取り出すと、\(dx=\sqrt{(dx)^{2}}\)より、$$\sqrt{\frac{(dx)^{2}}{(dx)^{2}}+\frac{(dy)^{2}}{(dx)^{2}}}$$

ここでdxの二乗分のdxの二乗は=1となり、dy/dxは、f(x)を微分したf‘(x)なので\((\frac{dy}{dx})の二乗=(f’(x))^{2}\)となって上の公式が導けます。

パラメータ表示の場合(パターン2)

x=(tの式)、y=(tの式)で媒介変数表示されるグラフ上で、

【t1からt2まで】の曲線の長さを求める公式は以下のようになります。

$$\int_{t1}^{t2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}dt$$

パラメータ表示の場合の式変形も同様に見ていきます。

\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)

dt(媒介変数で積分するため)を先ほどの”dx”と同じようにくくり出すと、\(dt=\sqrt{(dt)^{2}}\)なので、積分区間に注意して

$$\int_{t1}^{t2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}dt$$

確認問題(カテナリーの弧長)

$$y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$のグラフのx=2からx=5までの曲線の長さ(弧長)を求めよ。

解答/解説

(※)この問題で使用している『\(y=f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)』の関数のグラフは、次回「(作成中)カテナリーと双曲線関数」で詳しく解説する、”カテナリー”と呼ばれる非常に有名な曲線です。

さて、本題に戻るとy=f(x)の形で式が与えられている(パターン1)ので、導いた式を使って、

$$\int_{2}^{5}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}$$

\(f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)より、これを二乗し1を足して計算を進めると・・・

$$=\frac{1}{2}[e^{x}-e^{-x}]_{2}^{5}=\frac{1}{2}(e^{5}-e^{2}-e^{-5}+e^{-2})$$

よって、\(\frac{1}{2}(e^{5}-e^{2}-e^{-5}+e^{-2})\)が(答)となります。

弧長(微積)まとめ

・公式は覚えるほどのものではなく、意味を思い出せば簡単に導出できるはずです。

(出来れば数回自分で導く練習をしておくと定着しやすいです)

・求積問題など積分範囲全体に言えることですが、内容理解の後は計算力が物をいうので、復習や計算を怠らないようにしましょう。

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