弧長/曲線の長さの求め方(数学Ⅲ：積分法の応用)
＜この記事の内容＞：”面積・体積”とともに、積分法の応用としてよく出題される『弧長』の求め方の意味を解説し、練習問題で定着させます。
＜参考記事＞：「数学Ⅲ：微積分とその応用まとめ」
目次(タップした所へ飛びます)
弧長の求め方
弧長について、「求め方のイメージ」→「公式”２”パターン」→「確認問題」の順に解説していきます。
グラフとイメージ
弧長が求まる仕組みを始めに理解しておきましょう。
＜図１：曲線の長さが求まる仕組み＞
上の図のように、曲線部分を青色の\(\Delta x、\Delta y \)と青色点線の\(\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}\)の三角形で近似し、どんどんΔを0に近づけます。
結果的に、xでの弧長は\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)とあらわす事が出来ます。↓次へ↓
曲線の長さの公式
ここから、上で立式した:微小な線分(式1)を『任意の区間分だけ集める＝定積分を行う』事によって、求めたい曲線の長さが計算出来ます。
(パターン1)：ここでは、y＝f(x)の『関数のカタチ』でグラフの式が与えられている場合と、
(パターン2)：媒介変数(パラメータ)表示されている場合、
のそれぞれの公式を導きます。
(パラメータ表示については→「”媒介変数(パラメータ)表示”された関数の”グラフ”と面積」で詳しく紹介しています。)
関数表示の場合(パターン１)
関数y＝f(x)のグラフ上でx1からx2までの曲線の長さを求める公式は
$$\int_{x1}^{x2}\sqrt{1+(f‘(x))^{2}}dx$$
なぜこの様な式になるのか、\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)から変形していきます。
”dx“をルートの外に取り出すと、\(dx＝\sqrt{(dx)^{2}}\)より、$$\sqrt{\frac{(dx)^{2}}{(dx)^{2}}+\frac{(dy)^{2}}{(dx)^{2}}}$$
ここでdxの二乗分のdxの二乗は＝1となり、dy/dxは、f(x)を微分したf‘(x)なので\((\frac{dy}{dx})の二乗＝(f’(x))^{2}\)となって上の公式が導けます。
パラメータ表示の場合(パターン２)
x=(tの式)、y＝(tの式)で媒介変数表示されるグラフ上で、
【t1からt2まで】の曲線の長さを求める公式は以下のようになります。
$$\int_{t1}^{t2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}dt$$
パラメータ表示の場合の式変形も同様に見ていきます。
\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)
dt（媒介変数で積分するため）を先ほどの”dx”と同じようにくくり出すと、\(dt=\sqrt{(dt)^{2}}\)なので、積分区間に注意して
$$\int_{t1}^{t2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}dt$$
確認問題(カテナリーの弧長)
$$y＝\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$のグラフのx=2からx=5までの曲線の長さ(弧長)を求めよ。
解答/解説
（※）この問題で使用している『\(y＝f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)』の関数のグラフは、次回「（作成中）カテナリーと双曲線関数」で詳しく解説する、”カテナリー”と呼ばれる非常に有名な曲線です。
さて、本題に戻るとy=f(x)の形で式が与えられている（パターン１）ので、導いた式を使って、
$$\int_{2}^{5}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}$$
\(f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)より、これを二乗し１を足して計算を進めると・・・
$$=\frac{1}{2}[e^{x}-e^{-x}]_{2}^{5}=\frac{1}{2}(e^{5}-e^{2}-e^{-5}+e^{-2})$$
よって、\(\frac{1}{2}(e^{5}-e^{2}-e^{-5}+e^{-2})\)が（答）となります。
弧長（微積）まとめ
・公式は覚えるほどのものではなく、意味を思い出せば簡単に導出できるはずです。
（出来れば数回自分で導く練習をしておくと定着しやすいです）
・求積問題など積分範囲全体に言えることですが、内容理解の後は計算力が物をいうので、復習や計算を怠らないようにしましょう。
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