弧長/曲線の長さの求め方(数学Ⅲ:積分法の応用)

<この記事の内容>:”面積・体積”とともに、積分法の応用としてよく出題される『弧長』の求め方の意味を解説し、練習問題で定着させます。

<参考記事>:「数学Ⅲ:微積分とその応用まとめ

弧長の求め方

弧長について、「求め方のイメージ」→「公式”2”パターン」→「確認問題」の順に解説していきます。

グラフとイメージ

弧長が求まる仕組みを始めに理解しておきましょう。

弧長の計算(近似のイメージ)図

<図1:曲線の長さが求まる仕組み>

上の図のように、曲線部分を青色の\(\Delta x、\Delta y \)と青色点線の\(\sqrt{(\Delta x)^{2} +(\Delta y)^{2}}\)の三角形で近似し、どんどんΔを0に近づけます。

結果的に、xでの弧長は\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)とあらわす事が出来ます。↓次へ↓

曲線の長さの公式

ここから、上で立式した:微小な線分(式1)を『任意の区間分だけ集める=定積分を行う』事で求めたい曲線の長さが計算出来ます。

(パターン1):ここでは、y=f(x)の『関数のカタチ』でグラフの式が与えられている場合と、

(パターン2):媒介変数(パラメータ)表示されている場合、

のそれぞれの公式を導きます。

(パラメータ表示については→「”媒介変数(パラメータ)表示”された関数の”グラフ”と面積」で詳しく紹介しています。)

関数表示の場合(パターン1)

関数y=f(x)のグラフ上でx1からx2までの曲線の長さを求める公式は

$$\int_{x1}^{x2}\sqrt{1+(f‘(x))^{2}}dx$$

なぜこの様な式になるのか、\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)から変形していきます。

”dx“をルートの外に取り出すと、\(dx=\sqrt{(dx)^{2}}\)より、$$\sqrt{\frac{(dx)^{2}}{(dx)^{2}}+\frac{(dy)^{2}}{(dx)^{2}}}$$

ここでdxの二乗分のdxの二乗は=1となり、dy/dxは、f(x)を微分したf‘(x)なので\((\frac{dy}{dx})の二乗=(f’(x))^{2}\)となって上の公式が導けます。

パラメータ表示の場合(パターン2)

x=(tの式)、y=(tの式)で媒介変数表示されるグラフ上で、

【t1からt2まで】の曲線の長さを求める公式は以下のようになります。

$$\int_{t1}^{t2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}dt$$

パラメータ表示の場合の式変形も同様に見ていきます。

\(\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}\)・・・(式1)

dt(媒介変数で積分するため)を先ほどの”dx”と同じようにくくり出すと、\(dt=\sqrt{(dt)^{2}}\)なので、積分区間に注意して

$$\int_{t1}^{t2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}dt$$

確認問題(カテナリーの弧長)

$$y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$のグラフのx=2からx=5までの曲線の長さ(弧長)を求めよ。

解答/解説

(※)この問題で使用している『\(y=f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)』の関数のグラフは、次回「(作成中)カテナリーと双曲線関数」で詳しく解説する、”カテナリー”と呼ばれる非常に有名な曲線です。

さて本題に戻ると、y=f(x)の形で式が与えられている(パターン1)ので、導いた式を使って、

$$\int_{2}^{5}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}$$

\(f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)より、これを二乗し1を足して計算を進めると・・・

$$=\frac{1}{2}[e^{x}-e^{-x}]_{2}^{5}=\frac{1}{2}(e^{5}-e^{2}-e^{-5}+e^{-2})$$

よって、\(\frac{1}{2}(e^{5}-e^{2}-e^{-5}+e^{-2})\)が(答)となります。

弧長(微積)まとめ

・公式は覚えるほどのものではなく、意味を思い出せば簡単に導出できるはずです。(出来れば数回自分で導く練習をしておくと定着しやすいです)

・求積問題など積分範囲全体に言えることですが、内容理解の後は計算力が物をいうので、復習や計算を怠らないようにしましょう。

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