高校数学A整数：不定方程式の解き方（１）
＊今回の内容は整数分野が苦手or初めて取り掛かる人が主な対象です。
基本問題は解けるという人は、更に難易度の高い整数問題を扱っている「整数問題を閃き無しで解く３つの道具」のシリーズをお読み下さい。
また、基本的な因数分解の解き方の復習は、右のリンクから確認してください！→「因数分解の仕方(たすき掛け/公式/コツ)まとめ」。
さて、高校数学Aの整数分野では、“不定方程式”=(未知数の方が方程式の数より多い)の中で、解が整数であるものを扱った問題が非常に多いです。
目次(タップした所へ飛びます)
今回は不定方程式の解き方のうち、因数分解を用いた解法と問題例を紹介していきます。
もし整数条件が付いていないと・・・
xy=5を満たす(x、y)の数の組を求めよ。
(x、y）=(1、5)、(1/2、10)、(- i、5i)、(√5、√5)・・・
と「条件を満たす数」の組は無数にあります。
実際、虚数・分数・無理数、と何でも解になってしまいます。
ところが、整数条件がつくと一気に解を絞り込むことができます。
xy=5 ならば、(x、y）=(-1、-5)、(1、5)、(5、1)、(-5、-1)の4組だけです。
これほど、整数であるという条件は強力な制限になるのです。
実際の入試や模試ではもっと複雑な方程式の整数解の組が問われ、解法も何種類もありますが、最も多いものが因数分解に持ち込むパターンです。
流れとしては、(式)(式)=整数の形になるように変形し、→今度はその(式)を先ほど解いたxy=5の様に(式)=x、(式)=yとして“絞り込み”を行います。
タイプ1:始めから因数分解されている場合
最も簡単・基礎のタイプですが、今後複雑な不定方程式の問題を解く際でも、最終的にはこのタイプになることが多いので非常に重要です。
(例題1) :
(x+7)(y-5)=5 を満たす整数(x、y)を全て求めよ。
この問いは、初めから因数分解の形をしているので、各々の因数を文字でおいて、文字の積の形に変形します。
(x+7)=A、(y-5)=B とおいて、AB =5
後は、掛けて5になる組を選びます。
(A、B)=(1、5)(5、1)(-1、-5)(-5、-1)
A、Bが求まったので、先ほどの因数→文字の逆の操作をして、A＝(x+7)、B＝(y-5)に戻します。
最後にA、Bに上の組みを代入します。
よって、(x、y)=(-6、10)(-2、6)(-8、0)(-12、4)
タイプ2:自分で無理矢理(式)(式)=整数の形を作る場合。
このタイプは特に頻出です。自分で因数分解の形に変形するパターンです。
$$ax+by+cxy+d=0$$
のカタチの式をタイプ１の解法に帰着するよう変形させます。
詳しくは例題2へ。
(例題2-1) 3x+2y+xy+5=0 の式を満たす整数(x、y)の組を全て求めよ。
先ずは『xy』に注目です！この2変数の積の係数が1ならば、まず(x+ )(y+ )の形を作り、3xと2yが出来るようにたすき掛けをして(x+2)(y+3)
この式を展開すると定数項が問題の式と合わないので、調整する為に-1を付け足して、
(x+2)(y+3)-1=0 、ここで更に(式)(式)=整数になるように移項して、(x+2)(y+3)=1。
あとは例題1の様に解きます
(x、y)=(-1、-2)、(-3、-4)
$$(例題2-2)6x+5y+\frac {1}{2}xy+59=0 $$を満たす整数(x、y)の組を全て求めよ。
『xy』の係数が1でない場合です。
(例題2-1)と同じ流れで解くために、xyの係数が1になる様に式を◯倍します。
その後の解法は一緒です。
両辺２倍して12x+10y+xy+118=0
(x+10)(y+12)+118-120=0
(x+10)(y+12)=2
これを例題1と同様に解くと
(x、y)=(-8、-11),(-9、-10),(-11、-14),(-12、-13)
ここでは、不定方程式の因数分解利用型の解法のうち、基本的な２＋１パターンを紹介しました。
この他にも、いくつか応用の解法がありますが、最終的にはタイプ1に帰着します。
従ってまずこの記事で取り上げた解法をマスターし、発展問題へ進んで下さい。
不定方程式の解法(２)として条件式から絞り込む解法を紹介します
続いて以下の続編をご覧下さい！
第2回：「整数問題の解法(2):未知数を条件式から絞り込む方法」
第3回：「一次不定方程式の解き方：ユークリッドの互除法を利用する型」
今回もご覧いただき有難うございました。
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整数問題の定石の総まとめ記事は以下よりご覧下さい。
「整数問題の解法・解説総まとめ」を読む。
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