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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

2変数関数の最小値を求める

<この記事の内容>:変数が2つある、いわゆる『2変数関数』の最小値の問題の解法を3種類紹介します。

(2020/02/08更新:未定乗数法(応用レベル)の記事を最後の項に追加しました。)

2変数関数の問題のアプローチ

前回、1変数の二次関数の最大・最小値の求め方について解説しました。<参考:「2次関数の最大・最小値の問題の攻略」>

今回は、\(f(x,y)=ax^{2}+bx+cy^{2}+dy+e\)

(但し、a,b,c,d,eは定数)のような、変数(動く数)が“2種類”ある関数の最小値を求める方法について考えます。

変数間の条件式が与えられている場合(1)

まずは最も簡単なタイプから解いていきましょう。

問1:\(f(x,y)=x^{2}+2x+y^{2}+2y+1でx+y=2\) の”最小値”と、その値をとる時の”x”、”y”を求めなさい。

文字は2つありますが、条件式(x+y=2)を与えられているので、1文字消去(xでもyでも構いませんが計算が楽になる方)を行うことで単純な2次関数の問題に変形できます。

y=2-x・・・より、f(x,y)=の“y”に(2-x)を代入し、\(=x^2+2x+3(2-x)^{2}+2\)

\(=4\Large{(x^{2}-\frac{5x}{2})+14}\)

これを平方完成することで最小値が求まります。

\(=4\Large{(x-\frac{5}{4})^{2}+\frac{31}{4}}\)

上式より、x=5/4、y=2-(5/4)=3/4のとき最小値31/4をとる。・・・(答)

条件式有り+置き換え時に注意が必要なタイプ

次の問2は、先ほどの問1とほとんど同じに見えますが、実数条件に注意が必要なタイプです。

問2:\(f(x,y)=3x^{2}+2x+y^{2}+5 で3x+y^{2}=5\)の時の”最小値”と、その時の”x、y”を求めなさい。

この問題のように、条件式の次数が文字によって違っている場合、より高次の(ここでは3xよりも、y2)文字を代入して1変数関数の問題に変形させます。

(注意!!※:ここで、y2=5-3xとして、f(x,y)に代入し、そのまま問1と同じ手順で最小値を求めて終わり・・・ではありません!)

yは実数(条件より)ということは、y2は必ず0以上です。

ゆえに、もちろんその2乗である”変形した条件式”の(右辺)=5-3xも0以上である必要があります。

従って、xの条件は以下の通りです。

$$\frac{5}{3}>x$$

次に条件式をyの二乗に代入し、\(=3x^{2}+2x+(5-3x)+5\)

整理すると、以下の様にx=(-1/2)の時に最小値を取ることがわかります。

このx=(-1/2)は置き換えた時の条件(x<5/3)を満たすので、

$$=3(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{37}{4}$$

したがって、 x=(-1/2)、y=13/2のとき、最小値37/4をとる。

純粋な2変数関数の問題の解法(3)

問3:\(f(x,y)=2x^{2}+3x+y^{2}+2y+5\)の”最小値”と、その値をとる時の”x、y”を求めなさい。

この問3には条件式がありません。数学1の範囲では最も難しいタイプです。

一文字固定法の意味と手順

1文字消去ができないこのような場合には、『1文字固定』という定石の解法があります。

すなわち、まずどちらか一方の文字だけに注目し、平方完成した上で(この時もう一方の文字は変数ではなく『定数』扱いをします)、その後残ったもう一つの文字で平方完成するという解法です。

実際に回答を作っていくので、上の説明がよくわからなくても見てみてください。

(step1):xだけに注目して平方完成する

まず\(f(x,y)=2x^{2}+3x+y^{2}+2y+5 \)の式のうちxだけに注目して平方完成します。

まず次のように、xの式を整理し、$$2(x^{2}+\frac{3}{2}x)+y^{2}+2y+5 $$

これを平方完成して、$$2(x+\frac{3}{4})^{2}+y^{2}+2y+\frac{31}{8} $$

となり、

\(x=-\frac{3}{4}\) のとき、(最小値):「\(y^{2}+2y+\frac{31}{8}\)」を取ることがわかります。

(step2):残ったyだけに注目して平方完成する

\(f(x,y)==2x^{2}+3x+y^{2}+2y+5\)の式のうち残った$$『y^{2}+2y+\frac{31}{8} 』$$の部分を、今度は固定していた"y"に着目して平方完成すると、式は次のようになります。$$(y+1)^{2}+\frac{23}{8}$$

(step3):1,2をまとめ、2変数関数の最小値とその時のx、yの値を求める

step1・2の式をまとめると以下の式となり、

$$2(x+\frac{3}{4})^{2}+(y+1)^{2}+\frac{23}{8}$$

\(x= -\frac{3}{4}\)、かつ、y=-1 のとき

2変数関数全体の最小値『\(\frac{23}{8}\)』が求まりました。

(応用編:偏微分の利用)

(ココの項は微分を既習で、応用的な範囲を学びたい人向けです)

高校範囲外で、試験には使えませんが『検算』する時に役立つ偏微分について触れておきます。

(以下の記事中で偏微分の簡単な解説をしているので、そこだけご覧ください)

機械学習のための"偏微分"・合成関数の微分を高校レベルで解説

<現在実際の使い方を追記中です>

2変数関数の最小問題のまとめと関連記事

・条件式があれば事実上”1変数関数”の問題に出来るが、実数条件に要注意

・条件式が無ければ、一文字固定法を利用する

・今回紹介した方法の他にも最大・最小問題の解法は色々とあるので、随時更新していきます。

最大/最小値の問題と関連記事

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(2020/02/08作成):「(応用)ラグランジュの未定乗数法で最大値を求める方法

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今回も最後までご覧いただき、有難うございました。

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