高次方程式と解と係数の関係【応用編】

<この記事の内容>:「二次・三次方程式での解と係数の関係」を利用して、「解の配置問題」(左の記事で解説)を楽に解く別解や、

『高次方程式での重解が関係する問題』の解法など、数学2の初めにぶつかる”苦手”な人が多い応用問題をまとめました。

解の配置問題

ここでは、いわゆる『解の配置問題』を扱います。

数学1では後で紹介する方法:(判別式Dと、\(\frac{-2a}{b}:軸の位置\)、そしてy切片での値などを組み合わせる方法)で解いていました。

これを”解と係数”によって解く方法と『要注意point』を実際の例題を解きながら解説します。

解と係数の関係を利用する解法

次の2次方程式:\(x^{2}+(3k-1)x+(2k^{2}-1)=0\) の2つの異なる実数解が次の条件を満たすとき、kの範囲を求めよ。

(1):2つの解が共に正 

(2):2つの解が共に負

(3):2つの解が共に3より小さい

(4):2つの解が共に1より大きい

解き方(答えと解説)

(1):さて、2つの異なる解が両方とも0以上なので、

\(x^{2}+(3k-1)x+(2k^{2}-1)=0\) の解を\(x=p.q\)とすると、

\(0<p、かつ、 0<q よって、0<p+q が言えます。\)

また、同様に\(p\cdot q>0 \)でもあります。

ここで、さっそく『二次の場合の解と係数の関係』を用いて、

\(p+q=-(3k-1) , p\cdot q=(2k^{2}-1)\)

故に、\(-(3k-1)>0:① 、かつ、 (2k^{2}-1)>0:②\)

さらに異なる2個の実数解を持つので、判別式をDとして、

\(D=(3k-1)^{2}-4(2k^{2}-1)>0:③\)も満たす必要があります。

数直線で整理する(1)

上で必要な三つの条件式を計算すると、

①は\(k<\frac{-1}{3}\)、

②は\(k<\frac{-\sqrt{2}}{2},or,k>\frac{\sqrt{2}}{2}\)、

最後にDの条件:③は\(k<1,or,5<k\)

・これらの①〜③を数直線上に並べた時の【共通部分】が問題の答えである『kの範囲』となります。

数直線(問題1)

ゆえに、異なる2つの解が共に0より大きい場合のkの範囲は、\(k<\frac{-\sqrt{2}}{2}\)・・・(答)

・・・

(2):次は『異なる二つの解が共に0より小さい』場合なので、

\(0<p、かつ、 0<q よって、0<p+q が言えます。\)また、同様に\(p\cdot q>0 \)。

そして、判別式DについてはD>0はかわりありません。

数直線(問題2)

これらの条件を数直線で表すと上のようになります。(図2)

(2)について:計算を大幅にカットするコツ

(2)の数直線をかくにあたって、(1)と同様に計算しても良いですが、一部の条件の不等号(p+qとpqの条件)を逆にすれば、ほとんど計算せずに済みます。

(判別式:Dについては、不等号を逆転する必要すらなくそのまま使えます)

あとは、数直線上に並べて、(上の図2)$$\frac{\sqrt{2}}{2}<k<1,5<k$$・・・(答)

 

〜さて、1・2は比較的楽に理解出来たのではないでしょうか。この次の(3)・(4)は少し注意が必要です〜

問3・問4:2解が0以外の数を基準にする時(要注意!)

(3):『今度は0より大きい』や『0より小さい』といった場合ではなく、3より大きい場合を考えないといけません。

この場合も判別式Dの条件は変化しませんが、最重要な点が『p+q>3+3=6』、『p・q>9』と安易に設定してしまわないようにすることです。

例えば、p+q>6、かつ、p・q>9としてしまうと、次のような場合も含めてしまい題意を満たしません。

「p=2.9、q=4 」の場合、「p+q(和)は確かに6.9」と6より大きい条件を満たし、「pq(積)も=11.6」と9より大きいので2つの条件をクリアーしてしまいます。

しかし、pが2.9のため『2解がともに3より大きい』という大前提を満たせていません。

ではどのようにすればうまく条件を式で表せるのでしょうか?

・・・・・・・・・

この問題は次のように立式することで解決します。

$$(p-3)+(q-3)>0 、かつ、(p-3)\cdot (q-3)>0$$

式変形すると、$$p+q>6,かつ,(p-3)(q-3)>0$$これで、pやqが3以下の可能性を排除しつつ、問題の条件を満たす式を作ることができます。

よって、満たすべき式:$$判別式:D>0,p+q>6,かつ,(p-3)(q-3)>0$$

をそれぞれ計算して数直線上に表すと以下のようになります。

 

数直線(問題3)

よって、$$\frac{-9-\sqrt{41}}{4}<k$$

(4):共に1より小さい値をとる場合でも、問三と同じ方法で解いていきます。

すなわち\((p-(-1)+(q-(-1))<0\)、かつ、\((p-(-1)\times (q-(-1))>0\)、\(最後に判別式D>0\)

これらを解いて連立し、数直線上に書き込みます。

数直線(問題4)

ゆえに数直線を見て、$$\frac{-3+\sqrt{17}}{4}<k<1、又は、5<k$$

軸・判別式・f(x)を用いる方法

参考:(1)を通常の方法:「軸・D・f(0)」を使って解いた場合も載せておきます。

$$f(x)=x^{2}+(3k-1)x+(2k^{2}-1) $$として、2つの異なる解が共に0より大きいので、次の三つの条件を満たす。

・判別式D>0・・・(一)

・軸>0・・・(二)

・f(0)>0・・・(三)

(一)より、\(D=(3k-1)^{2}-4(2k^{2}-1)>0\)

(二)より、軸は\(\frac{-(3k-1)}{2}>0\)

(三)より、\(f(0)=2k^{2}-1>0\)

それぞれ解くと、結果的に(1)での場合と同じになるため、数直線(問題1)満たすべきkの条件は、\(k<\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

小まとめ

解の配置問題はこの2つの解法を両方身につけておくことと、

条件が正/負という0を基準にしないときにミスをしないように気をつけましょう。

高次方程式:2重解を持つ式

ここでは、高次(三次)方程式が二重解を持つ問題を通して、判別式や場合分けなどの仕方を学びます。

問題

いま、次のような3次方程式:\(x^{3}+(m-2)x^{2}+(2-2m)x-4=0\)がある。

この方程式が二重解を持つとき、定数”m”の値とその時の解を”全て”求めよ。

解答と解法の説明

まず初めに、因数定理を用います。

x=2を式に代入すると=0となることから、与式を(x-2)で割って因数分解を行います。

すると、下の図のように\((x-2)(x^{2}+mx+2)\)となって二重解の値によって場合分けすることになります。

二重解を持つ3次方程式のケース一・2

まず(一):\((x^{2}+mx+2)\)が重解を持つ=重解の値≠2のとき。

このパターンでは、\((x^{2}+mx+2)\)の判別式が0であれば良いので、

\(D=m^{2}-8=0\)。これを計算すると、\(m=\pm 2\sqrt{2}\)

これを\((x^{2}+mx+2)\)に代入すると、xの値は\(x=\pm \sqrt{2}\)。

2つのxの解はいずれも≠2より、『m=\(\pm 2\sqrt{2}\)』のとき、xの解は「\(2,\sqrt{2}\),\(2,-\sqrt{2}\)」・・・(答1)

・・・・・・

次に(二):重解の値が“2”であり、\((x^{2}+mx+2)\)の解の片方が2、もう一方の値が≠2であるとき。

この場合、\((x^{2}+mx+2)\)の解の一つが2であることがあらかじめ分かっているので、与式に2を代入します。

\(4+2m+2=0\)より、m=-3、これより\(x^{2}-3x+2=0 \leftrightarrow (x-2)(x-1)=0\)。

ゆえに、xの2以外の解は1。

最後に(一)と(二):を合わせて、$$m=\pm 2\sqrt{2},-3 、その時の解はx=\pm \sqrt{2},1$$・・・(答)

今回のまとめ

解と係数の関係を使う問題は色々な分野で登場します。

注意深く応用すると、非常に強力な武器になるので、以下の関連記事を合わせて読んでぜひ自分のものにしてください!

関連する記事一覧

解と係数の関係(基礎編)とその応用問題

解と係数と整数問題との融合

 

今回も最後までご覧頂きまして有難うございました。

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