合成関数の微分と対数微分法のやり方を徹底解説

合成関数の意味とその微分 +対数微分法

今回は、数学３の微積分で必須の「合成関数の微分法」及び、「対数微分法」について解説していきます。

特に、対数微分法を苦手とする人は多いので、ぜひじっくりとご覧ください。

合成関数とは？そしてその微分

・合成関数とは

・合成関数の微分法

・対数微分法とは

・今回のまとめ

合成関数とは？

合成関数とは、関数の中に関数が入ったものという事が出来ます。

＜合成関数：f(gx)とg(fx)の例＞

例えば、f(x)＝sinxとg(x)=e^xという二つの関数がある時、f(x)とg(x)の合成関数は、

\(\begin{aligned}f( g( x)) =f\circ g( x) \\
g( f(x) ) =g\circ f(x) \end{aligned}\)

\(( f\circ g)(x) =f(g(x))と書いて＝\sin e^{x}\)になります。

見ての通りf(x)のxの部分にg(x)を代入したものです。

逆に\(( g\circ f) (x) =g(f(x))は＝e^{\sin x}\)となります。

合成関数の微分

では上の合成関数を実際に微分して見ましょう。名前の通りf(g(x))やg(f(x))を微分する事です。

\(\{ f\circ g(x) \} '=g'(x) f'(g( x)) \)

\(「元のf(g_{x})をf◯と考えて、{f◯}’＝f’◯×◯‘」\)

この式だけでは分かりにくいかも知れないので、実例を紹介します。

合成関数微分の実例

まずは上の図にある合成関数の微分をやってみましょう。

\(( f\circ g)( x)=\sin e^{x}\)

\((\sin e^{x})'=\cos e^{x}\cdot e^{x}=e^{x}\cos e^{x}\)

$$\{(g\circ f)(x)\} '=(e^{\sin x}) '$$

$$=e^{\sin x}\cdot \cos x=\cos x\cdot e^{\sin x}$$

もう一題例を挙げておきます。

合成関数微分の例(2)

f(x)とg(x)をそれぞれ、

f(x) =\sin x、g(x) =3x²とします

\(f\circ g(x) =\sin (3x^{2})\)この合成関数を微分すると

\(\{ f\circ g(x)\} '=g'( x) f'(g( x)) より\)

\(\{f\circ g(x)\} '=(3x^{2})'\cos 3x^{2}⇔ 6x\cos 3x^{2}\)

勾配降下法の記事から来た方は、ここで＞＞「勾配降下法(機械学習の理論)を解説」へ移動してください。

対数微分法とは

対数微分法とは、合成関数の微分法の考え方を用いて、

微分する式の両辺の自然対数（対数のうち、底がe;ネイピア数であるもの）

を取ってから微分する方法です。

＜対数の基礎が不安な人はこちらの記事を先にご覧ください

→「指数・対数とは？基本的な意味と応用問題」＞

この方法は、微分したい関数が、(xを含む関数)乗されている様な場合に特に役に立ちます。

なぜなら、上の対数の基本の記事でも紹介しましたが、対数の特徴である、

\(\log ◯^{△}＝△\log ◯\)という変形(ここでの対数の底は全てeです）によって

肩の（xの式）乗を前に持ってこれるので、より簡単な積の微分に変えることが出来るからです。

例：f( x) =x^{sin x}や、f( x) =x^{log x}などなど。

対数微分法の実例と手順

では、実際に関数の肩の部分に（xの式）がのっている関数を対数微分してみます。

例)y=x^xを微分します。両辺自然対数を取って、

log y=xlog x

$$\frac {dy}{dx}=y'$$を求めたいので両辺をxで微分しますが、

左辺の、log yはxで直接微分出来ないので、

$$一旦yで微分してから、\frac{dy}{dx}で帳尻を合わせます。$$

＜↑ここが対数微分での最大のポイントです！＞

$$( \frac {dy}{dx}) ( \frac {d}{dy}) \log y=\frac {d}{dx}( x\log x) $$

$$y'\frac {1}{y}=(x) '\log x+x(\log x) '$$

\(\begin{aligned}\frac {y'}{y}=\log x+x\cdot ( \frac {1}{x}) \\
⇔ y'=y( \log x+1) \end{aligned}\)

最後に、y=x^xより、式のyに＝x^xを代入することによって、

（答）y'=x^x(log x+1)

確認例題（対数微分）

y=x^{log x}を対数微分法を使って微分せよ。

少し時間をとって自分で解いてみてください。

解答

今回は、xの肩に（logx)がのっています。ただ、やることは同じです。

まず、両辺自然対数をとって、log y=(log x)×(log x)

肩のlogxを前に持ってきます。

$$\frac {dy}{dx}×\frac {d}{dy}\log y=\frac {d}{dx}( \log x) ^{2}$$

$$y'×\frac {1}{y}=2\log x× \frac {1}{x}$$

y=x^{log x}だったので、式中のyに代入して、

$$y'=y× ( \frac {2\log x}{x})$$

$$y'=x^{\log x}×( \frac {2\log x}{x})$$

が答えです。

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