合成関数の意味とその微分 +対数微分法

今回は、数学3の微積分で必須の「合成関数の微分法」及び、「対数微分法」について解説していきます。

合成関数とは?そしてその微分

・合成関数とは

・合成関数の微分法

・対数微分法とは

・今回のまとめ

合成関数とは?

合成関数とは、関数の中に関数が入ったものという事が出来ます。

合成関数の解説と例
$$例えばf(x)=sinxとg(x)=e^{x}$$

$$という二つの関数がある時、f(x)とg(x)の合成関数は、$$

$$\begin{aligned}f\left( g\left( x\right) \right) =f\circ g\left( x\right) \\
g\left( f\left( x\right) \right) =g\circ f\left( x\right) \end{aligned}$$

$$\left( f\circ g\right) \left( x\right) =f(g(x))と書いて=sin e^{x}に成ります。$$

$$見ての通りf(x)のxの部分にg(x)を代入したものです。$$

$$逆に\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g(f(x))は=e^{sinx}となります。$$

合成関数の微分

では上の合成関数を実際に微分して見ましょう。名前の通りf(g(x))やg(f(x))を微分する事です。

合成関数の微分法の解説

$$\left\{ f\circ g\left( x\right) \right\} '=g'\left( x\right) f'\left( g\left( x\right) \right) $$

$$「元のf(g_{x})をf◯と考えて、{f◯}’=f’◯×◯‘」$$

この式だけでは分かりにくいかも知れないので、実例を紹介します。

合成関数の微分の実例

先ずは上の図にある合成関数の微分をやってみましょう。

$$\left( f\circ g\right) \left( x\right)=sin e^{x}$$

$$(sin e^{x})'=cose^{x}\cdot e^{x}=e^{x}\cos e^{x}$$

$$\left\{ \left( g\circ f\right) \left( x\right) \right\} '=\left( e^{\sin x}\right) '$$

$$=e^{\sin x}\cdot cosx=cosx\cdot e^{\sin x}$$

もう一題例を挙げておきます。

 

$$f\left( x\right) =\sin x,g\left( x\right) =3x^{2}とします$$

$$f\circ g\left( x\right) =\sin \left( 3x^{2}\right)これを微分すると $$

$$\left\{ f\circ g\left( x\right) \right\} '=g'\left( x\right) f'\left( g\left( x\right) \right) より$$

$$\left\{ f\circ g\left( x\right) \right\} '=\left( 3x^{2}\right) '\cos 3x^{2}$$

$$\Leftrightarrow 6xcos3x^{2}$$

 

対数微分法とは

対数微分法とは、合成関数の微分法の考え方を用いて、微分する式の両辺の自然対数を取ってから微分する方法です。

この方法は、微分したい関数が、(xを含む関数)乗されている様な場合に特に役に立ちます。

$$なぜなら、対数の特徴である、$$

$$log◯^{△}=△log◯という変形によって$$

$$肩の(xの式)乗を前に持ってこれるので、$$

$$より簡単な積の微分に変えることが出来るからです。$$

$$(例f\left( x\right) =x^{\sin x}や、f\left( x\right) =x^{\log x}などなど)$$

対数微分法の実例と手順

$$例)y=x^{x}を微分します。両辺自然対数を取って$$

$$\log y=x\log x$$

$$\frac {dy}{dx}=y'を求めたいので両辺をxで微分しますが、$$

$$左辺の、log yはxで直接微分出来ないので、$$

$$一旦yで微分してから、\frac{dy}{dx}で帳尻を合わせます。$$

$$\left( \frac {dy}{dx}\right) \left( \frac {d}{dy}\right) \log y=\frac {d}{dx}\left( x\log x\right) $$

$$y'\frac {1}{y}=\left( x\right) '\log x+x\left( \log x\right) '$$

$$\begin{aligned}\frac {y'}{y}=\log x+x\cdot \left( \frac {1}{x}\right) \\
\Leftrightarrow y'=y\left( \log x+1\right) \end{aligned}$$

$$最後に、y=x^{x}より$$

$$よってy'=x^{x}\left( \log x+1\right) $$

確認例題

$$y=x^{\log x}を対数微分法を使って微分せよ。$$

少し時間をとって自分で解いてみてください。

 

解答

$$\log y=\log x\times \log x$$

$$\frac {dy}{dx}\times \frac {d}{dy}\log y=\frac {d}{dx}\left( \log x\right) ^{2}$$

$$y'\times \frac {1}{y}=2\log x\times \frac {1}{x}$$

$$y=x^{\log x}だったので$$

$$y'=y\times \left( \frac {2\log x}{x}\right)$$

$$y'=x^{\log x}\times \left( \frac {2\log x}{x}\right)$$

 

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