合成関数の意味とその微分 +対数微分法

今回は、数学3の微積分で必須の「合成関数の微分法」及び、「対数微分法」について解説していきます。

特に、対数微分法を苦手とする人は多いので、ぜひじっくりとご覧ください。

合成関数とは?そしてその微分

・合成関数とは

・合成関数の微分法

・対数微分法とは

・今回のまとめ

合成関数とは?

合成関数とは、関数の中に関数が入ったものという事が出来ます。

合成関数の解説と例<合成関数:f(gx)とg(fx)の例>

例えば、f(x)=sinxとg(x)=exという二つの関数がある時、f(x)とg(x)の合成関数は、

$$\begin{aligned}f( g( x)) =f\circ g( x) \\
g( f( x) ) =g\circ f(x) \end{aligned}$$

$$( f\circ g)( x) =f(g(x))と書いて=sin e^{x}になります。$$

見ての通りf(x)のxの部分にg(x)を代入したものです。

$$逆に( g\circ f) (x) =g(f(x))は=e^{sinx}となります。$$

合成関数の微分

では上の合成関数を実際に微分して見ましょう。名前の通りf(g(x))やg(f(x))を微分する事です。

合成関数の微分法の解説

$$\{ f\circ g(x) \} '=g'(x) f'(g( x)) $$

$$「元のf(g_{x})をf◯と考えて、{f◯}’=f’◯×◯‘」$$

この式だけでは分かりにくいかも知れないので、実例を紹介します。

合成関数の微分の実例

先ずは上の図にある合成関数の微分をやってみましょう。

$$( f\circ g)( x)=sin e^{x}$$

$$(sin e^{x})'=cose^{x}\cdot e^{x}=e^{x}\cos e^{x}$$

$$\{ ( g\circ f)( x)\} '=( e^{\sin x}) '$$

$$=e^{\sin x}\cdot cosx=cosx\cdot e^{\sin x}$$

もう一題例を挙げておきます。

合成関数微分の例(2)

f(x)とg(x)をそれぞれ、

f(x) =\sin x、g(x) =3x2とします

$$f\circ g(x) =\sin (3x^{2})この合成関数を微分すると $$

$$\{ f\circ g(x)\} '=g'( x) f'(g( x)) より$$

$$\{ f\circ g(x)\} '=( 3x^{2}) '\cos 3x^{2}$$

$$⇔ 6xcos3x^{2}$$

対数微分法とは

対数微分法とは、合成関数の微分法の考え方を用いて、

微分する式の両辺の自然対数(対数のうち、底がe;ネイピア数であるもの)

を取ってから微分する方法です。

<対数の基礎が不安な人はこちらの記事を先にご覧ください

→「指数・対数とは?基本的な意味と応用問題」>

この方法は、微分したい関数が、(xを含む関数)乗されている様な場合に特に役に立ちます。

なぜなら、上の対数の基本の記事でも紹介しましたが、対数の特徴である、

$$log◯^{△}=△log◯という変形によって$$

肩の(xの式)乗を前に持ってこれるので、より簡単な積の微分に変えることが出来るからです。

例:f( x) =xsin xや、f( x) =xlog xなどなど。

対数微分法の実例と手順

では、実際に関数の肩の部分に(xの式)がのっている関数を対数微分してみます。

例)y=xxを微分します。両辺自然対数を取って、

log y=xlog x

$$\frac {dy}{dx}=y'を求めたいので両辺をxで微分しますが、$$

左辺の、log yはxで直接微分出来ないので

$$一旦yで微分してから、\frac{dy}{dx}で帳尻を合わせます。$$

<↑ここが対数微分での最大のポイントです!>

$$( \frac {dy}{dx}) ( \frac {d}{dy}) \log y=\frac {d}{dx}( x\log x) $$

$$y'\frac {1}{y}=(x) '\log x+x(\log x) '$$

$$\begin{aligned}\frac {y'}{y}=\log x+x\cdot ( \frac {1}{x}) \\
⇔ y'=y( \log x+1) \end{aligned}$$

最後に、y=xxより、式のyに=xxを代入することによって、

(答)y'=xx(log x+1)

確認例題(対数微分)

y=xlog xを対数微分法を使って微分せよ。

少し時間をとって自分で解いてみてください。

 

解答

今回は、xの肩に(logx)がのっています。ただ、やることは同じです。

まず、両辺自然対数をとって、log y=(log x)×(log x)

肩のlogxを前に持ってきます。

$$\frac {dy}{dx}×\frac {d}{dy}\log y=\frac {d}{dx}( \log x) ^{2}$$

$$y'×\frac {1}{y}=2\log x× \frac {1}{x}$$

y=xlog xだったので、式中のyに代入して、

$$y'=y× ( \frac {2\log x}{x})$$

$$y'=x^{\log x}×( \frac {2\log x}{x})$$

が答えです。

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続編→<<「陰関数の意味と陰関数微分のやり方」>>

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今回も最後までご覧いただき本当に有難うございました。

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