積分方程式の解き方

今回は積分方程式の第一回として積分方程式の2パターンを紹介し、

基礎的な例題を通してその解法について解説していきます。

積分方程式とは

積分方程式とは、f(x)の様な未知の関数(下の例題1の式を見ても分かる様に、f(x)がどんな関数なのかは分かりません。)が積分の中に入っているものを言います。

更に、これから解説する2パターンの方法でf(x)がどんな関数なのかを調べて、f(x)の式を導く(見つける)事を「積分方程式を解く」という言い方をします。

$$\int ^{3}_{1}f\left( t\right) dt←のように積分の中に未知の関数fがあります。$$

微分方程式について。→「微分方程式の紹介と応用まとめ」を読む。

 

積分方程式の2タイプとそれぞれの解法

積分方程式は、大きく2パターンに分けることが出来、各々解き方が異なるので、例題を通して紹介していきます。

(1):積分区間に変数が含まれないパターン

例題(1):

$$f\left( x\right) =\int ^{2}_{0}f\left( t\right) dt+x+1・・・【1】$$

【1】のf(x)を求めよ。

本問の様に積分区間に変数(この方程式では変数=x)が含まれない場合は、【方程式中の積分=k(kは定数)と置く】のが大原則です。

この原則に従って例題(1)を解いていきます。

$$f\left( x\right) =\int ^{2}_{0}f\left( t\right) dt+x+1の$$

$$\int ^{2}_{0}f\left( t\right) dt=kと置いて、$$

$$kを【1】式に代入すると、$$

$$f\left( x\right) =k+x+1となります。$$

$$更に、この式の変数xにtを代入します。$$

$$f\left( t\right) =k+t+1・・・【2】$$

$$ここで先程置いた式、k=\int ^{2}_{0}f\left( t\right) dtの$$

$$f(t)に【2】を代入して右辺をtで積分すると、$$

$$k=\left[ \frac {t^{2}}{2}+kt+t\right] ^{2}_{0}$$

$$これを計算すると、k=2+2k+2\Leftrightarrow k=-4$$

$$ここで、積分部分をkと置いた式、f\left( x\right) =k+x+1に$$

$$k=ー4を代入すると、$$

$$\begin{aligned}f\left( x\right) =-4+x+1\\
\Leftrightarrow f\left( x\right) =x-3\end{aligned}$$

$$となって、f(x)を求めることが出来ました。$$

(2)積分区間に変数が含まれているパターン

こちらも例題を解きながら解説しますが、(1)に比べてワンランク難しくなっています。

(例題2ー1):

$$\int ^{x}_{2}f\left( t\right) dt=x^{3}+1を満たすf(x)を求めよ。$$

このタイプの積分方程式は、両辺を変数(ここではx)で微分すると上手く解くことが出来ます。

例題2の解答解説の前に、積分部分を微分する方法について解説しておきます。

この例題では積分区間の変数が“x”と簡単なものですが、より複雑な“x ^2 +3x +3”の様に変数の式が積分区間に入っている場合もあります。

その様な場合でも、同様に変数で微分するのですが、その際「合成関数の微分」に注意する必要があります。

注)合成関数の微分については右で詳しく解説しています。苦手な人は先に是非ご覧ください→「合成関数の微分法」を読む。

積分区間に変数or変数の式が入っている場合の対処法

積分部分を微分する手順を解説していきます。

ここでは、分かりやすくするために色々と式変形していきますが、実際に問題を解く時は

一行目と最終行の2式だけ記述して計算しましょう。

$$以下に登場するg(x)やh(x)はxの関数という意味で$$

$$これは当然、g(x)=xやh(x)=2(定数)も含みます$$

$$\int ^{g\left( x\right) }_{h\left( x\right) }f\left( t\right) dtをxで微分する$$

$$一旦積分してインテグラルを外してから微分します$$

$$\left[ F\left( t\right) \right] ^{g\left( x\right) }_{h\left( x\right) }=F\left( g_{(x)}\right) -F\left( h(x)\right) $$

$$上の式の右辺を微分していくと$$

$$\frac {d}{dx}\left( F\left( g_{(x)}\right) -F\left( h(x)\right) \right) =$$

$$=f\left( g(x)\right) \cdot g'\left( x\right) -f\left( h(x)\right) \cdot h'\left( x\right)$$

$$ 合成関数の微分法より、外の関数の微分×中の関数の微分$$

$$よって、これらをまとめると$$

$$d/dx\int ^{g\left( x\right) }_{h\left( x\right) }f\left( t\right) dt=$$

$$f\left( g(x)\right) \cdot g'\left( x\right) -f\left( h(x)\right) \cdot h'\left( x\right)となります。$$

 

 

(解答解説2-1):解説に戻ります。

$$両辺を変数xで微分すると、$$

$$\int ^{x}_{2}f\left( t\right) dt=x^{3}+1$$

$$d/dx(\int ^{x}_{2}f\left( t\right) dt)=d/dx(x^{3}+1)$$

$$上で解説した様に計算すると、$$

$$f\left( x\right) \times \left( x\right) '-f\left( 2\right) \times \left( 2\right) '=3x^{2}・・・【3】$$

$$(x)'=1,と、(2)'=0より、【3】式の左辺はf(x)$$

$$右辺は3x^{2}となるので、求めたい$$

$$f\left( x\right)=3x^{2}$$

$$従って、答え:f\left( x\right)=3x^{2}$$

 

まとめと次回予告

この様に積分方程式は2パターンに分けることが出来、各々解き方も決まっているので見かけ程は難しくありません。

次回の積分方程式part2では、もう少し複雑な関数:数学Ⅲで扱う関数が入ったものを紹介します。

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