微分と増減表は最後の手段!グラフを描く順序

 

増減表を描かずにグラフをかく

・2通りのグラフの描き方

・下の方法を勧める理由

・具体的にするべき3つの事

・具体例を見てみる

 

グラフの描き方2パターン

皆さんは、「グラフをかけ」という問題や、「グラフを使って調べる(ex、共有点の個数)」際に何も考えずに微分して、

もう一度微分して、増減表をかいて・・・としていませんか?

決して間違いではないですし、教科書通りの「適切」な手順ですが、特に数学Ⅲを得意にしたい場合、筆者は別の手順で進めるべきだと考えています。

(普通) 関数→微分(細部を調べる)→グラフ全体

(推奨)関数→グラフ全体を思い浮かべる→微分

なぜ、この方法を勧めるか。

数学Ⅲで扱う関数は特に複雑なものが多いので、計算ミスをしやすく、また時間も掛かります。

グラフ全体のおおまかなイメージをせずに微分を始めてしまうと、ミスに気が付かない恐れが非常に高く、また到達するグラフの見通しが立っていないので、効率的に必要な計算だけする=計算にかける時間を削る事が出来ないからです。

そして最大の理由は、この方法に慣れる事で数学が「見えて」くる。という無視出来ない効果があるからです。

ではどうやってグラフをイメージするか?

利点が多いこの方法ですが、言うは易く行うは難しな面もあります。そこで最短で身に付ける為にするべき事を紹介します。

(1)最低限の基本的なグラフの形は覚えておく

 

$$y=e^{x},y=\log x,y=\frac {1}{x}$$

$$y=\frac {1}{\sqrt {x}},y=\sqrt {x}$$

等々一通りの有名なグラフの形は覚えておきましょう。

 

(2)グラフの符号が変化するxの値や、分母が0になるxの値を抑える。

y=(xー2)(x+3)ならば、x=2、-3を境に符合が変わるのでx=2、-3をチェック

y=1/x ならば、x=0を取れないのでx=0の左右極限を調べる。等。

(3)limx→±∞や、片側極限などの計算に慣れる

上述した様に、左右極限やxを±∞へ飛ばした時の計算を早くする為に、極限計算の練習をする。

では実際にどの様に進めるかを見ていきます。例題の関数は筆者が執筆中に思いついた(てきとうな)ものです。

実際の手順

<例題>次の関数のグラフをかけ

y=(xー2)(x+3)/e^x

$$y=\frac {\left( x+3\right) \left( x-2\right) }{e^{x}}$$

先ず、$$分数を外す為にy=\left( x-2\right) \left( x+3\right) e^{-x}に変形し$$、

$$y=\left( x-2\right) \left( x+3\right) ,y=e^{-x}のグラフをメモ程度に書きます$$。

グラフメモ1

 

<図1>

 

次に、メモの<図1>より$$y=e^{-x}は常に正$$

y=(xー2)(x+3)は下に凸のグラフで符合はx=2、-3で変化する(∴x=2、-3の時y=0)事をチェックします。

$$するとy=\left( x-2\right) \left( x+3\right) e^{-x}のグラフがいるゾーンが大方推定できます$$。

グラフメモ2

<図2>

後は、xを±∞へ飛ばした時の挙動をチェックし、大体のグラフの概形を描きます。

$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\left( x-2\right) \left( x+3\right) e^{-x}=0$$

$$\lim _{x\rightarrow -\infty }\left( x-2\right) \left( x+3\right) e^{-x}=+\infty $$

 

ここ迄でほぼグラフは出来てしまうのですが、変曲点や極大極小を問われる場合は、ここでやっと微分をします。

(逆に厳密な事が問われず、体積や面積を求めるだけなら、このまま積分に進みましょう)

先ほども言いましたが、既に概形が分かっているので、ミスの可能性と計算チェックの時間を大幅に削れます!

$$\begin{aligned}y=\left( x-2\right) \left( x+3\right) e^{-x}\\
=\left( x^{2}+x-6\right) e^{-x}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}y'=\left( 2x+1\right) e^{-x}-\left( x^{2}+x-6\right) e^{-x}\\
=-e^{-x}\left( x^{2}-x-7\right) \end{aligned}$$

数字が汚くなってしまいましたが、$$x=\frac {1\pm \sqrt {29}}{2}$$で極大極小をとる様です。

今回はグラフを書くのが目的なので、<図1>〜<図2>より、

例題のグラフは下の様になります。

グラフメモ完成形

 

いかがでしたか?

この方法は慣れるのに少し時間が掛かりますが、一度習得すると式を見ただけで大体の関数のグラフがイメージできる様になります。

計算のスピードと正確さが命運を分ける数3においては特に重要なスキルなので、是非色々なグラフを自分で試行錯誤しながら作って見て下さい。

その「積み重ね」がやがて大きな差になります。

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今回もお疲れ様でした。

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