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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

微分と増減表は最後の手段!グラフを描く順序

この記事は、

・グラフを描かせる問題や、求積問題で直ぐに増減表をつくっている人へ

・数学Ⅲの微積を解くスピードと、計算ミスが”大幅に”減る「本質的な」グラフの推測法

を解説したものです。

【NEW!】2019/04/06:関連記事「数学Ⅲを得点源にする為の勉強法」を作成しました。

増減表を描かずにグラフをかく

・2通りのグラフの描き方

・下の方法を勧める理由

・グラフを推測するためにするべき3つの事

・具体例を見てみる

グラフの描き方2パターン

皆さんは、「グラフをかけ」という問題や、「グラフを使って調べる(ex、共有点の個数)」際に何も考えずに微分して、もう一度微分して、増減表をかいて・・・としていませんか?

決して間違いではないですし、教科書通りの「適切」な手順ですが、特に数学Ⅲを得意にしたい場合、筆者は別の手順で進めるべきだと考えています。

(普通) 関数→微分(細部を調べる)→グラフ全体

<この”普通の方法”は当然完璧にしておかなければいけません。不安のある人は→「三次関数のグラフの描き方」←で”増減表”を使った方法を再確認しておきましょう。>

(推奨)関数→グラフ全体を思い浮かべる→微分

なぜ、この方法を勧めるか。

理由は幾つかあります。

数学Ⅲで扱う関数は特に複雑なものが多いので、計算ミスをしやすく、また時間も掛かります。

・グラフ全体のおおまかなイメージをせずに微分を始めてしまうと、ミスに気付かない恐れが非常に高いです。

・また、到達するグラフの見通しが立っていないので、効率的に必要な計算だけする=計算にかける時間を削る事が出来ない事も理由の一つです。

・そして最大の理由は、この方法に慣れる事で数学が「見えて」くる、という無視出来ない効果があるからです。

グラフをイメージする方法

利点が多いこの方法ですが、言うは易く行うは難しな面もあります。そこで最短で身に付ける為にするべき事を紹介します。

(1)最低限の基本的なグラフの形は覚えておく

指数関数や対数関数、基本的な分数・無理関数などのグラフは前もって頭に入れておきます。

$$y=e^{x},y=\log x,y=\frac {1}{x}$$

$$y=\frac {1}{\sqrt {x}},y=\sqrt {x}$$

等々一通りの有名なグラフの形は覚えておきましょう。

(2)グラフの符号が変化するxの値や、分母が0になるxの値を抑える。

y=(xー2)(x+3)ならば、x=2、-3を境に符合が変わるのでx=2、-3をチェック

y=1/x ならば、x=0を取れないのでx=0の左右極限を調べる。等。

(3)limx→±∞や、片側極限などの計算に慣れる

上述した様に、左右極限やxを±∞へ飛ばした時の計算を早くする為に、極限計算の練習をする。

<参考:「極限を得意にするための解説記事まとめ」>

では実際にどの様に進めるかを見ていきます。

例題の関数は筆者が執筆中に思いついた(てきとうな)ものです。

実際の手順

<例題>次の関数のグラフをかけ

y=(xー2)(x+3)/e^x

$$y=\frac {( x+3) ( x-2) }{e^{x}}$$

先ず、$$分数を外す為にy=( x-2) ( x+3) e^{-x}に変形し$$、

$$y=( x-2) ( x+3) ,y=e^{-x}$$のグラフをメモ程度に書きます。

グラフメモ1

 

<図1:問題の関数を構成する有名関数のグラフ(パッと頭に浮かぶようにする)>

次に、メモの<図1>より$$y=e^{-x}は常に正$$

y=(xー2)(x+3)は下に凸のグラフで符合はx=2、-3で変化する(∴x=2、-3の時y=0)事をチェックします。

$$するとy=( x-2) ( x+3) e^{-x}$$

のグラフがいるゾーンが大方推定できます。

グラフメモ2

<図2:予測したグラフの形>

後は、xを±∞へ飛ばした時の挙動をチェックし、大体のグラフの概形を描きます。

$$\lim _{x\rightarrow +\infty }( x-2)( x+3) e^{-x}=0$$

$$\lim _{x\rightarrow -\infty }( x-2)( x+3) e^{-x}=+\infty $$

ここ迄でほぼグラフは出来てしまうのですが、変曲点や極大極小を問われる場合は、ここでやっと微分をします。

(逆に厳密な事が問われず、体積や面積を求めるだけなら、このまま積分に進みましょう)

先ほども言いましたが、既に概形が分かっているので、ミスの可能性と計算チェックの時間を大幅に削れます!

$$\begin{aligned}y=( x-2) ( x+3) e^{-x}\\
=( x^{2}+x-6) e^{-x}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}y'=( 2x+1) e^{-x}-( x^{2}+x-6) e^{-x}\\
=-e^{-x}( x^{2}-x-7) \end{aligned}$$

数字が汚くなってしまいましたが、$$x=\frac {1\pm \sqrt {29}}{2}$$で極大極小をとるようです。

今回はグラフを書くのが目的なので、<図1>〜<図2>より、

例題のグラフは下の様になります。

グラフメモ完成形

<極値まで調べたグラフの概形>

まとめと数学3:微積分の関連記事へ

この方法は慣れるのに少し時間が掛かりますが、一度習得すると式を見ただけで大体の関数のグラフがイメージできる様になります。

計算のスピードと正確さが命運を分ける数3においては、特に重要なスキルなので、是非色々なグラフを自分で試行錯誤しながら作って見て下さい。

>>NEW!:「数学3を得点源にして合格する為の勉強法【予習・復習編】

その「積み重ね」がやがて大きな差になります。

数学Ⅲの微分・積分の重要公式・解法総まとめ>へ戻る

今回もお疲れ様でした。

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関連記事→「極限を得意にする記事6選まとめ」を読む。

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