複素数平面入門第一回

 

複素数平面第1回

・複素数平面シリーズ概要

・数学2の複素数から数学3複素数平面へ

・複素数平面と回転

・直交形式から極形式に変換

 

複素数平面入門シリーズの概要

高校数学3複素数平面を扱って行きます。内容は、数学2の複素数を発展させたものですが、

少々他の単元と異なった感じがする人が多く(数学Bのベクトルに近い感覚でしょうか?)得意不得意が分かれる単元です。

しかし、複素数平面は習得してしまうとあらゆる事に応用でき、非常に便利です。特に図形問題にはかなりの威力を発揮します!

そこで今回は、複素数平面の基礎を解説して行きます。

複素数(数2から数3複素数平面へ)

数学2で出会う複素数のおさらい。

複素数Zは、Z=a+bi  (a、bは実数でiは虚数単位)で表せ、特にa=0のものを純虚数、b=0のものを実数と呼びます。

虚数単位iについても、「二乗すればー1になる想像上の数」で、説明される使用法はこれまで判別式D<0の場合は解なしだった二次方程式の解をiをつかうことで求められると言う程度のことしか教わりません。

ここは数学3なので、もっと本質的に複素数を見てみましょう。

複素数平面

虚数単位iは二乗するとー1になりました。

今、1にiを二回かけると、ー1になります。次に、ー1にiを二回かけると1に戻りました。

この意味を理解する為に「複素数平面」を導入します。

これは、「複素平面」、「ガウス平面」とも呼ばれるもので、

<図1>の様にxーy軸に、ReーIm軸を対応させたものです。(Reは実軸、Imが虚軸)

複素数平面ー回転

<図1>

複素数平面と回転

そうすると、複素数z=a+biは複素数平面上の座標(a、b)と1:1に対応します。

ここで先程の1はz=1+0iより、複素数平面上の(1、0)、つまり実軸上で原点から1正方向へ離れた場所にいます。

これにiを2回かけると、(-1、0)に移動したことがわかります。さらにもう二回iをかけると、(1、0)に戻ってきました。

では、iを1回だけ掛けるとどうなるのでしょうか?

iを4回かけたら元に戻った(360°回転した)事を考えると、90°回転するのが妥当な感じがします。

ここで実験の為、複素数z=3+2iを考えます。

複素数平面上では(3、2)です。zにiを掛けると3iー2となり、(-2、3)になります。

複素数平面回転実験

<図2>

これは正に原点を中心に90°回転移動しています。

この様に、「iを掛ける事」は複素数平面上で「原点を中心に90°回転させる」という意味がある事がわかります。

直交座標(形式)から極座標(形式)へ

ここでは、今まで複素数を扱う時に使ってきた直交形式(Z=a+bi)から、極形式と呼ばれるものへ変換して行きます。

これによって、複素数の「図形に強い・回転の計算が容易」と言った性質を引き出すことができます。

図3の様に、

今、Z=1+√3i(z=a+biの形の式を直交形式と呼びます)を直交座標で表すと、(1、√3)となります。

一方で、これを原点からの距離と実軸から反時計回りの角度で表したもの(2、π/3)を「極座標」と言います。

「極座標」を数式に戻すと「極形式」とよばれるものになり、Z=2(cosπ/3+isinπ/3)と表します。

この時の「原点からの距離」のことを絶対値と言い、角度を偏角とよびます。

直交ー極形式

<図3>

 

次回はいよいよこの極形式を用いて、任意の点を好きな角度だけ回転させたり、

伸縮させる方法と実例、その証明を行なっていきます。

#2018/11/08更新

複素数平面第二回「複素数の積/商と回転、伸縮」公開しました。リンクよりご覧下さい!

 

お疲れ様でした。

今回も最後まで読んで頂きまして有難うございます!

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