解と係数の関係+恒等式(+対称式)を使ったテクニック

<この記事の内容>:始めに”2次”方程式の「解と係数の関係」を紹介し、続けて”3次”方程式における「解と係数の関係」を学習します。

次に、これらを使用した基礎問題〜”恒等式”と融合して素早く解くコツまでを例題を基にしながら解説します。

解と係数の関係とは

・初めて解と係数の関係について学ぶ人と、

・『”2次方程式”の”解と係数の関係”は比較的理解しやすいが、3次になると手こずる・・・』という人

のために、まずは基礎となる2次の場合から紹介します。

二次方程式での場合と仕組み

いま、\(ax^{2}+bx+c=0\)の式で表すことができる2次方程式がある。

この時の方程式の解を\(\alpha,\beta\)とした時、

・解の和である:α+β=\(\frac{-b}{a}\)で表すことができ、

・解の積である:α・β=\(\frac{c}{a}\)で表すことができます。

仕組み

この仕組みは簡単です。実際にこの式は:x=α,βを解に持つので、(与式) =\(a(x-\alpha)(x-\beta)\) と置くことができます。

これを展開すると、\(ax^{2}-ax\alpha-bx\beta+a\alpha\beta\)となって、整理すると:\(ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\)ココで、\(ax^{2}+bx+c=ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\)の両辺を(a≠0)で割ると、$$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$$

となって、両辺を比べると確かに上の式の通りになっています。

三次方程式の場合

次は三次の場合です。文字は一つ増えますが、行うことは二次方程式の場合となんら変わりありません。

三次方程式\(ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)があり、その解を\(\alpha,\beta,\gamma\)とした時、

・α+β+γ=\(\frac{-b}{a}\)

・α・β+β・γ+γ・α=\(\frac{c}{a}\)

・α・β・γ=\(\frac{-d}{a}\)

こちらの仕組みは一部省略しますが、二次の際と同じく展開して、比較する事で上の3つが成り立つことが確認できます。

解と係数の関係を使った求値問題と”テクニック”

ココでは、『解と係数の関係』をうまく活用して式の値を求める問題を解説していきます。

また、『解と係数の関係』を”応用”して、問題の一部になっているものも多数あるので、これらで得点して行くためにはキソ的な練習を確実にこなすことが重要です。

2次での問題

いま、二次方程式\(2x^{2}+5x+3=0\)があり、この方程式の解をαとβとする。

この時次の(1)〜(3)までの値を求めよ。

(1):\(\alpha^{2}+\beta^{2}\)

(2):\((\alpha-\beta)^{2}\)

(3):\(\alpha^{3}+\beta^{3}\)

 

解答とコツ

まず、(1)〜(3)まではいずれも”対称式”です。(対称式については、→『対称式を最大限に利用する方法』を参考にしてください。)

よって、必ず基本対称式である、\(\alpha+\beta=\frac{-5}{2}\)及び\(\alpha\beta=\frac{3}{2}\)で表すことができるので、

(1):\(\alpha^{2}+\beta^{2}\)=\((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta\)

よって、\(\frac{-5}{2})^{2}-2(\frac{3}{2}=\frac{13}{4}\)・・・(答)

(2):\((\alpha-\beta)^{2}\)=\((\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta\)

この場合、\((\alpha+\beta)(\alpha-\beta)\)のように因数分解してもうまくいきません。

そこで、(α+β)を2乗して4αβを引くことで値が求まります。

∴ \((\frac{-5}{2})^{2}-4\frac{3}{2}=\frac{1}{4}\)・・・(答)

(3):\(\alpha^{3}+\beta^{3}\)=\((\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)

この場合は、上のように式変形(参照:「因数分解の仕方と公式」)を用いて、基本対称式のみの式に変形させます。

ゆえに、\((\frac{5}{2})^{3}-3(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})\)

\(=\frac{35}{8}・・・(答)\)

3次での問題

\(x^{3}+2x^{2}+5x+3=0\)である。この時次の(1)〜(4)までの値を求めよ。

※:(3)は展開しても解けますが、ある事に気付くと一気に片付きます。

(1):\(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}\)

(2):\(\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}\)

(3):$$(5-\alpha)(5-\beta)(5-\gamma)$$

解答とコツ

(1),(2)は2次と場合と同じです。基本は、”解と係数+対称式の利用”の解法をもちいます。

\(x^{3}+2x^{2}+5x+3=0\)より、基本対称式3種類は:α+β+γ=−2、α・β+β・γ+γ・α=5、α・β・γ=−3なので、

\((\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)

\(2^{2}-2(5)=-6\)・・・(答)

\((\alpha+\beta+\gamma)^{3}-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)(\alpha\beta\gamma)\)

\((-2)^{3}-3(5)(-3)=37\)・・・(答)

(3)のみ

$$x^{3}+bx^{2}+cx+d=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

$$=x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$$

を利用します。

すなわち、上の式のxに5を代入した値は\(x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\)のxに5を代入した値と等しくなる(恒等式)より、

\(125-25(-2)+5(5)+(-3)\)

よって、197・・・(答)

解が全て整数となる三次方程式の問題(発展)

この問題は、整数分野との融合問題です。

少々レベルアップしますが、よく出題されるタイプなので解法を理解しておきましょう。

問題;\(x^{3}-x^{2}-4x+k=0\)の三つの解がすべて整数である時、三つの解と定数項kの値を求めよ。

解答解説

この手の『解が整数を取る』場合は、”解と係数の関係”+”整数解を文字でおく”+”解の値の大きさ(の順番)を勝手に決めてしまう”と言う方法で解くことが可能です。

ここでは仮に三つの整数解を文字「p、q、r」とおくことにします。

そして最大のポイントは上述したように、\(p≦q≦r と大小関係を初めに決定しておく\)ところです。

大小関係から絞り込む

これは整数が絡む問題では定石です。

解と係数の関係より、\(p+q+r=1, pq+qr+rp=-4, pqr=-k\)

\(1=p+q+r≦r+r+r=3r \)より、\(\frac{1}{3}≦r\)

さらに、\(p^{2}+q^{2}+r^{2}=(p+q+r)^{2}-2(pq+qr+rp) \)から、\(p^{2}+q^{2}+r^{2}=9\)

・故に、\(r^{2}≦p^{2}+q^{2}+r^{2}=9\)

p、q、rは実数なのでそれぞれを二乗した\(p^{2}、q^{2}、r^{2}はいずれも0以上\)

より、\(r^{2}の最大値は9\)、\(\frac{1}{3}≦r\)よりrの範囲は\(\frac{1}{3}≦r≦3\)

rは整数だったので可能性のある数字が絞れてきました!

r=1、2、3の各場合に分けてチェックしていきます。

丁寧に場合分けを行い答えを出す

(一):r=1の時

p +q +r=1なのでp=-q これを\(r^{2}≦p^{2}+q^{2}+r^{2}=9\)に代入すると\(2p^{2}=8\leftrightarrow p^{2}=4 p=\pm 2 q=\mp 2\)

しかしこのpとqの組みは、p≦q≦rと矛盾する。

(具体的には、2<-2<1と-2<2<1 となって成り立ちません。)

(二):r=2の時

\(r=2なので、p +q=-1 かつ p^{2}+q^{2}=5\)の 条件を満たすqは、\(q=-p-1を代入して、2p^{2}+2p-4=0\)

∴ p=1,-2 この時q=-2,1

よって、(p,q,r)=(-2、1、2)は条件を満たす。

さらに、この時の\(k=\frac{-k}{1}=-k=2×1×(-2)\)

∴ k=4

(三):r=3の時

\(p^{2}+q^{2}=0 よりp=q=0\)これは、p+q+r=1に矛盾する。

(一)〜(三)より、整数解は(-2、1、2)、k=4・・・(答)

まとめと関連記事へ

・解と係数の関係とほぼセットで登場する、対称式→”基本”対称式の流れを確認しておきましょう。

・続編:「解と係数を利用した『解の配置問題』の解き方+α」(NEW!2019/07/16追加しました)

”解と係数の関係”を使用する問題や関連分野

整数問題をセンス無しで解くための解法まとめ

 

今回も最後までご覧頂き、有難うございました。

当サイト「スマナビング!」では、読者の皆さんのご意見・ご感想や記事のリクエストの募集をコメント欄で行なっています。

また お役に立ちましたら、B!やSNSでシェアをしていただけると大変励みになります。

・その他のお問い合わせ/執筆講師への指導依頼に関しましては、上部ページからご連絡下さい。

Twitterでフォローしよう