積分法の基礎と計算

今回から微分法の対となる積分法を解説していきます。

高校数学では、「積分計算は微分計算の逆である」と表現されることが多いです。

関数の形や性質を見定める微分法に引き続き、積分法も関数の特徴を調べたり、あるいは特定の知りたい量(面積や体積、グラフの長さなど)を求める際に非常に大切になってくる概念です。

積分法の前に極限→微分を確認したい人は、

極限を得意にする記事6選!(〜微分法への橋渡し〜)

をご覧下さい!

積分法の基本

一般に、

$$F'\left( x\right) =f\left( x\right) のとき、$$

「F(x)をf(x)の不定積分」と呼びます。

この際積分の演算を表す記号インテグラルを用いて、$$\int f\left( x\right) dx=F\left( x\right) +Cと表します。$$

ここで出てきたCは積分定数と呼ばれる任意の定数(=ここではxが入っていない数字の事)です。

積分に出てくる記号の意味

なぜCなる物が登場するか疑問に思う人もいると思います。

そこで試しに$$f\left( x\right) =x+3,f\left( x\right) =x+1を$$

それぞれ微分してみてください。

$$共にf'\left( x\right) =1になり、$$

定数部分の1と3は消えて無くなります。

今度は積分は微分の逆なので、

$$f'\left( x\right) =1を積分すると、$$

f(x)=x+(ここの数字はいくつにすれば良いのでしょう?)

1かも知れないし3かも知れません。100でも1000でも微分と積分の関係は変りません。

どの値でも微分すればf‘(x)=1になります。

つまり積分した後の定数の値はいくらでも考えられるため、ひとつにまとめてCという記号で表しているわけです。(Constantの略です)

先頭の∫の記号は数学者ライプニッツが導入したと言われ、「和」を表すラテン語の単語summaの頭文字Sを上下方向へ引き伸ばしたものが由来とされています。

(因みに、数列でよく出てくるΣシグマもおなじくsummaの頭文字から派生し、こちらはラテン語のsに対応するギリシャ語のΣを使っています。)

また、dxはxについて積分するという意味が主ですが、実は微分法にも登場するdxと同様の「非常に小さい数=微小量」という意味合いも持っています。

定積分と不定積分

次に、不定積分の他に定積分というものも定義されています。計算や表記は不定積分とはほぼ同じなのですが、

定積分は右のように表されます$$\int ^{\alpha }_{\beta }f\left( x\right) dx=F\left( \alpha \right) -F\left( \beta \right) $$

ここでは不定積分には存在しなかった積分する「区間」を表す「αからβまで」という意味で上下に文字がつきました。

定積分は不定積分のような「積分定数の付くあいまいな関数」の形ではなく、「とある定まった値」が得られます。

そして、定積分の値をIと置くと、f(x)の不定積分の一種であるF(x)を用いてI=F(α)-F(β)と定義されます。

色々な関数の積分計算と置換積分

では、具体的に大学受験で扱う積分を見てみましょう。なお、以下では不定積分として扱いますが、積分定数は省略します。

今後さまざまな複雑な関数の積分をする事になりますが、その計算が正しいかどうかは両辺を微分してみて、もとの関数に戻るかどうかですぐにわかります。

なるべく積分したら微分して、元に戻るかの検算をする様にしてください

これは単にミスを減らすだけでなく、今後似た様な積分を行う時に計算速度がアップする効果があります。

多項式、べき乗の積分

多項式・べき乗の積分

$$x^{a}の不定積分について、$$

$$a\neq -1\Rightarrow \int x^{a}dx=\frac {x^{a+1}}{a+1}$$

$$a=-1\Rightarrow \int x^{-1}dx=\int \frac {1}{x}dx=\log \left| x\right| $$

aの値によって場合分けが生じたり、a=-1のとき絶対値が関係してくることには注意しましょう。

三角関数の不定積分

次に三角関数の不定積分を見てみます。

$$\int \sin xdx=-\cos x$$

$$\int \cos xdx=\sin x$$

$$\int \frac {1}{\sin ^{2}x}dx=\tan x$$

$$\int \frac {1}{\cos ^{2}x}dx=\frac {-1}{\tan x}$$

三角関数の積分はそれ自体が重要なだけでなく、今後紹介する「特殊な置換積分」でも活躍します。

指数関数の不定積分

$$\int a^{x}dx=\frac {a^{x}}{\log a}$$

特にa=eの時有名なネイピア数が現れます

$$\int e^{x}dx=e^{x}$$

入試で問われるのは多くはa=eの場合です。

これらの積分が正しいかはこれまでと同様、両辺の微分で確かめることができます。

ネイピア数の面白い性質は→ネイピア数って何の為にあるの?で紹介しています。

置換積分法のやり方と注意

これまでいくつか挙げてきた公式を使って積分しようと考えてみても、一見計算できないようなパターンは実はいくつもあります。

そのような場合、「置換積分」という方法を使ってあげる事で、最終的にうまく計算出来る様になる事があり、大学受験では必須の計算方法です。

置換積分の手順は以下の様になります。また、関係する公式も挙げます。

置換積分は実例(やり方)を見るのが一番理解しやすいので、f(x)=(xー2) ^ー2の定積分(積分区間は3から5)を以下で解いていきます。

$$f\left( x\right) =\frac {1}{\left( x-2\right) ^{2}}$$

$$\int ^{5}_{3}f\left( x\right) dx$$

に置換積分法を使って行きます。

ここで、$$ t=\left( x-2\right) と置く$$

$$\frac {dt}{dx}$$(これは、tの式をxで微分するという意味です)

$$\frac {dt}{dx}=\frac {\left( x-2\right) }{dx}=1\Leftrightarrow \frac {dt}{dx}=1$$

よってdt=dxとすることができます。

さらに、積分区間を変更します

$$\begin{aligned}x:3\rightarrow 5\\
t:1\rightarrow 3\end{aligned}$$

(積分区間の変更について)定積分の場合は積分区間に注意する必要があり、もとの形では「xに対応する区間」でしたが、置換したことで「tに対応する区間」に変化させる必要があります。

たとえば、0から1までxについて積分するとき、x=sintと置いたとします。

このとき、tは0から1ではなく、0からπ/2まで動くと言えますから、0≦t<2πとすれば積分区間は0からπ/2となります。

これまでの操作をまとめると、

$$\int ^{3}_{1}\frac {1}{t^{2}}dtとでき、$$

$$計算すると、\begin{aligned}\int ^{3}_{1}\frac {1}{t^{2}}dt=\int ^{3}_{1}t^{-2}dt\\
=\left[ -t^{-1}\right] ^{3}_{1}\end{aligned}$$

$$=\left[ -\frac {1}{t}\right] ^{3}_{1}=-\frac {1}{3}-\left( -\frac {1}{1}\right) =\frac {2}{3}$$

途中で出てきた[F(t)]の意味

$$\left[ F\left( x\right) \right] ^{\alpha }_{\beta }=F\left( \alpha \right) -F\left( \beta \right) $$

要するに、[]中の積分後の関数に(右上の数字を入れたもの)ー(右下の数字を入れたもの)という意味です

まとめ

数学Ⅲの微分・積分の重要公式・解法総まとめ>へ戻る

今回は数学Ⅲ積分法第一回として基礎の基礎から置換積分法まで紹介しました。

ボリュームも割と多かったと思うので、よく復習しておいて下さい。

数学3の積分では計算速度と正確さが最終的に勝敗を分けるので、出来るだけ多くの類題をこなすことが重要です。

次回は、部分積分法を始め更に沢山の計算法やテクニックを紹介していきます。

今回もご覧いただき有難うございました。

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