部分積分の仕方と迷わず計算する為のコツを紹介!

<この記事の内容>:「積分法の基本公式(1)」に引き続き、今回は「部分積分の仕方」を紹介していきます。

タイトルの通り、部分積分を楽に解くコツ(下メモ法)を解説しているので、以下の様な悩みを持っている人は必見です!

<この記事を読むべき人>

・部分積分の公式がややこしくて苦手→1歩1歩手順を図解しているので、文字だけではわかりにくかった式もよく理解できます

・2つの関数のうちどちらを微分/積分の形にすれば良いかわからなくなる

・そもそも部分積分をはじめて学ぶ人

この記事でできる様になること

・迷わず、正確に部分積分が出来る

部分積分とは

数学3の積分では、単なる公式だけでは解決できないパターンも沢山あります。

そのため色々な計算法があるのですが、今回はその中でも「部分積分」を紹介していきます。

部分積分の教科書に載っている式

具体的な式は以下の通りです。一つ目の定義式において、微分の記号である「’」の位置に注意しましょう。 $$\int f'( x) g( x) dx=f( x) g( x) -\int f( x) g'( x) dx$$

ただし、これだけだとややこしく感じるので、実際に具体的な問題を使って解説していきます。

次の不定積分を計算せよ。

$$\int xe^{x}dx$$

部分積分法を計算する手順

ここから、実際に部分積分していきます。見通しをよくするため、下にメモ(のようなもの)と「箱」を書きながら積分します(下メモ法:勝手に名付けたので良い名前があれば教えてください・・・)。

なるべくわかりやすいように、手順を図解していきます。

1:微分する関数を選ぶ

手順1:まずはじめに、「x」と「ex」のどちらを微分すると楽(単純)な関数になるかを考えて選びます。ここでは当然「x」です。

部分積分法の手順1

2:もう一方の関数を積分する

手順2:(1)で選んだ簡単な方の関数を微分して、その下に書きます。同時に、もう一方(ここではex)を積分した結果も書き込みます。(exは積分してもex,ここでは積分定数Cは書きません)。

部分積分法の手順2

3:矢印の向きに注意して書き込む

手順3;以下の図のように、微分した関数は下向きに矢印を・積分した関数は下から上向きの矢印を書き込みます。

部分積分法の手順3

4:丸で囲った2つの関数を=の右に書く

手順4:矢印の先でない方(以下の図中では「x」と「ex(積分した方です)」)をそのまま=の右側に書きます。

※不定積分の場合です。定積分のときは[]で囲んで計算します。

部分積分法の手順4

5:メモした箱の中の∫2関数dxを後ろにおく

手順5:元の∫xexdxの下に書いた”ハコ”の関数を手順4で書いた関数の右側に書き∫1×ex dxとします。

部分積分法の手順5ここで、$$\int e^{x}dx=e^{x}+C (Cは積分定数)$$

より、結果的に$$\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C$$

と積分することができました。

logxをメモを使って積分してみる(工夫)

手順はある程度理解できたでしょうか?この項では、先ほどの”下メモ法のコツ”を意識して、

\(\log{x}\)の積分を求めてみましょう。

\(\log{x}\)の積分は公式として載っているかと思いますが、自分で導けるようにしておきましょう。

logxの積分の問題点と工夫

さて、実際にlogxを部分積分をしようとすると、関数が1つしかないことにすぐ気付くかと思います。

これでは、上で解説した下メモ法が使えない・・・

その為、なんとか関数を2つにする方法を考えます。

すると、logx=1×logxにすれば全て解決することがわかります。(1をかけても被積分関数はlogxのままです)

logxの部分積分の手順1

logxを1×logxとみなして、1とlogxのどちらを微分すれば簡単な関数になるかを考えます。

(1)'=0と(logx)'=1/xを見比べると、一見(1)の方を微分したくなりますが、

そうなると手順3で紹介した(logx)の積分を知っている必要が出てきます。

・・・今logxの積分をしているのに、その答えを知っているはずがありません!

そもそも知っていれば、部分積分などしなくて良いのです。

そこで(logx)の方を微分することにし、1の積分=xと、(logx)'=1/x を”下メモ”しておきます。

logx(自然対数)の部分積分の手順1

logxの積分の手順2

これまで同様に、下にメモしておくと”ハコ”のなかみが『x・1/x』となっていますね。

つまり右辺にxlogxーと書いた後に計算する、∫x・1/x dx=∫1dxとなり大変簡単に積分できます。

あとは、以下の図の通り計算していくと、$$\begin{aligned}\int 1× \log ( x) dx=x\log x-\int x\cdot \frac {1}{x}dx\\
=x\log x-\int 1dx\\
=x\log x-x\end{aligned}$$となって、教科書などにも載っている「自然対数logxの積分=xlogx-x+C ;Cは積分定数)が導けます。

logxの部分積分の手順2
このように、$$稀に\int f( x) dx=\int 1× f(x) dx$$
とする事で上手く計算できる事があります。

部分積分法で色々解いてみよう

ここから、実際に手を動かして、例題を解きながら部分積分の仕方を身につけます。(解説を見る前に、一度自分で解いてみてください)

(例1):2回積分を行う(三角関数)タイプ

$$\int x^{2} sinx dx$$

(例2):自然対数が入ったタイプ

(例題2):次の部分積分を計算せよ。$$\int xlogx dx$$

 

(解説1)

微分して簡単になるのはx2の方です。したがって、手順1の青の関数=x2、オレンジの関数=sinxとして、部分積分を進めていきます。

∫sinxdx=-cosx (積分定数は省略)ただし計算を進めるとわかりますが、一回では積分が完了せず、もう一度部分積分する必要があります。

<解答1>

部分積分を繰り返すタイプの例題の解説上の図のように、∫2x・cosx dxを再び部分積分して、式を整理すると、

=ーx2cosx+2xsinx+2cosx+C (Cは積分定数)・・・(答)

(解説2)

例題1よりもこちらの方が簡単かもしれません。logxがある時点で、これを微分するほうの関数と決定できます。あとはもう一方の関数xの積分を下にメモしておきます。(∫xdx=x2/2)。

<解答2>

$$\int xlogx dx=\frac{x^{2}}{2} logx -\int \frac{x^{2}}{2}× \frac{1}{x} dx$$

積分の部分のxが打ち消しあってxが残るので、

$$\frac{x^{2}logx}{2}-\frac{1}{2}\int x dx=\frac{x^{2}logx}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C$$

 

まとめと数学Ⅲ微積分の関連記事一覧

さて、部分積分法にも少しは慣れてきたでしょうか?数学3、特に積分は計算の正確さと速度が重要になってくるので、類題を探して沢山の問題を解いていきましょう。

・積分する際に、logxがあれば部分積分を考える

・∫(関数)・(関数)dxのカタチの積分では、微分して簡単になるものがないか探す

・今回学習した“部分積分”を応用した問題に”積分漸化式”があります。

次回は積分漸化式の具体的な問題を解説していきます。

次回予告:(積分漸化式と微積まとめ)

「(作成中)積分漸化式のパターンとその解き方」

>>「数Ⅲで学ぶ微分・積分法とその応用の記事まとめ」<<

 

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