素数問題と超重要な性質をもつ「ある」数とは

 

今回は、素数で唯一の性質をもつある数を多用する過去問を通して、整数問題、特に素数に関する問題への向きあい方を習得していきます。

一度経験していないと思い付くことが難しい内容もあるので是非じっくりとご覧下さい。

なお、これまでの整数分野の記事まとめは→「整数分野の解法解説記事総まとめ」←をご覧下さい。

素数についての問題

早速問題を見ていきます。

$$a-b-8とb-c-8が素数となる、素数の組(a,b,c)をすべて求めよ。$$

(2014年 一橋)

非常に簡潔な問題文ですが、中々難問で、かつ思考力と経験が試される良問です。

(整数問題に自信がある人は20分を目安に解いて見て下さい。それ以外の方も、リンク→整数問題総まとめを参考にしながら10分は考えて見て下さい)

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解説に入る前に、素数と「2」について、、

唯一の偶素数2について

この問題だけでなく、素数の問題では「2」と言う数字が非常に大切です。

一番小さい素数(1とその数自身の計2つだけを約数に持つ自然数が素数なので、1は素数ではありません!)と言うことだけでなく、

「唯一の偶数の素数」であると言うことが最大のポイントです。

逆に、「素数で2より大きいものは全て奇数」である、とも言えます。

整数問題では偶奇を糸口に解答することがとても多いので、素数「2」は必ず頭に入れておきましょう。

解答解説

では解説を始めていきます。

条件整理

まず問題文より、a-b-8とb-c-8が素数になる素数の組( a,b,c) を求めるので、

a、b、c、a-b-8、b-c-8、の5つが全て素数である必要があります。

$$この時点で、\begin{aligned}a-b-8 >0\Leftrightarrow a-b >8\\
b-c-8 >0\Leftrightarrow b-c >8\end{aligned}$$

より、a >b,かつ ,b >cだから、a>b>cが確定します。

$$更に、\begin{aligned}a-b-8 >0\Leftrightarrow a-b >8\\
b>c+8\Leftrightarrow a>b+8\end{aligned}より、$$

a,b共に8より大きく素数だから、奇数になる…(1)

次の考え方は大切です。

ゆえに、a-b-8は、奇数ー奇数ー偶数だから、必ず偶数になる。

唯一の偶数の素数は2だから、a-b-8は2である!

よって、a-b=10

cの偶奇で場合分け

ここまでの条件を整理すると、

a>b>c 、かつ、 a-b=10 で、a=b+10とaが素数よりb+10は素数。

更に、b-c-8も素数である。

ここで、整数問題の定石絞り込み/場合分けを行います。

(a,b,c)の組みのうちcが分かれば、aもbで表せる事が分かるでしょうか?

と言ってもcは分からないので、偶奇で分けて見ます。

まずは、cが偶数の時

cは素数かつ偶数より「2」である事が決定します。

そして、c=2とb-c-8が素数である事より、b-10も素数。

bをどうするか

従って、c=2の時、b+10,b,b-10の3つが全て素数となります。

次にすべき事は、bが全てに関わっているので、bの絞り込みです。

(1)より、bは奇数かつ8以上の素数でした。

そこで、奇数ー偶数=奇数よりb-10は奇数かつ素数。

と言う事は、b-10は一番小さくても3であると言えます。

$$そこで、b-10\geq 3\Leftrightarrow b\geq 13$$

ここで一旦手が止まります。

整数問題攻略の3つの指針を知っていますか?

以下の記事で詳細に解説しているので、是非ご覧いただきたいのですが

整数問題(もちろん素数問題も含む)が出てきたときは下の3種類の指針を頭に思い浮かべます。

→「閃きやセンス無しで整数問題を攻略する為の3つの指針」を読む!

・指針1:(式)×(式)=整数 の形に持って行く。(因数分解や素因数分解を使う→場合分けで解いて行く事が多い)

・指針2:条件式(問題文)から範囲を絞る(例:A<B<C、ならば、A+B+C<C+C+C=3C、や偶奇わけ、判別式の利用、一文字消去、他)

・指針3:余りで分類(3の倍数に関わる問題ならば、3m/3m+1/3m+2/の三つに分けてみる、他,,,)

bの絞り込みで悩んだら、

この3つのどれかが使えないか考えて見ます。

すると、今回は式× 式 は使えそうにありません。

(この方針は、主に2次式以上で活躍します)

次に、条件式から範囲を絞る。これはもう既にやってしまっています。

すると、あまりで分類が残ります。

剰余類で分けると言うものです。これはまだ使っていません

当然、この指針で解けないものもありますし、

知らなくても実験をしてみて、余りで分類するのではないか?と気付く事もあります。

しかし始めから頭の隅に置いておくと実験もスムーズに進みます。

(実験してみる):bは13以上の素数だから

適当に選んだbの値を(b-10,b+10)に代入してみると、

b=13の時(3,23)、b=19の時(9,29)、b=53の時(43,63)のように、

(b-10,b+10)のどちらかに3の倍数が入っています

余りに注目して絞り込み

では、とりあえず3で割った余りでbを分けてみましょう

cが偶数つまりc=2の時、bは13以上の素数より3の倍数にはなれない。(唯一の3の倍数の素数は3の為)。

従ってb=3m+1,b=3m+2(mを自然数とする)の2通りについて考えます。

b=3m+1の時、c=b-10に代入すると

$$\begin{aligned}b-10=3m+1-10\\
\Leftrightarrow b-10=3m-9\\
\Leftrightarrow b-10=3\left( m-3\right) \end{aligned}$$

より、m=4の時、b-10=3、b=13

これをa=b+10に代入してみると(a,b,c)=(23,13,2)となり、これまでの条件を全て満たします。

よってこれが答えの一つです。

次に、b=3m+2の時、a=b+10に代入すると

$$\begin{aligned}b+10=3m+2+10\\
\Leftrightarrow b+10=3m+12\\
\Leftrightarrow b+10=3\left( m+4\right) \end{aligned}$$

$$mは自然数なので、a=b+10=3\left( m+4\right)となり、$$

m=1の時a=15,,,,とこの場合は条件を満たしません。

次にcが奇数の時を考えます。

b-c-8が素数である事に注目すると、a>b>c、かつ、b>c+8より、bは奇素数であるから、b-c-8は奇ー奇ー偶(8)となり、偶数。

b-c-8は素数かつ偶数!なので、b-c-8=2

またしても2が登場しました。

ゆえに、c=b-10,a=b+10。この場合でも、bの「余りで場合分け」が役に立ちそうです。

b=3m+1(mは自然数)の時、c=b-10=3m-9

$$\Leftrightarrow c=b-10=3(m-3)$$

よりm=4,の時c=3

更に、b-10=3より、b=13

a=b+10=23

ゆえに(a,b,c)=(23,13,3)これは条件を満たす。

次にb=3m+2(mは自然数)の時、

a=b+10=3m+12

$$\Leftrightarrow 3(m+4)$$

mは自然数であるので、m=1の時でも

a=b+10=3(1+4)となり、条件を満たさない。

以上より、a-b-cと、b-c-8が素数となる条件を満たす素数(a,b,c)の組みは、

(a,b,c)=(23,13,2),(23,13,3)

まとめ

・偶数と素数→「2」を連想する!

・何度も「整数問題を解く3つの指針」を読む。

・整数問題は文系難関校/理系問わず、超頻出分野なので類題を数多く解く。→「全10選!整数問題を得点源にする解法解説記事まとめ

 

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