ポアソンの法則(式)の導出と断熱変化の問題を分かりやすく解説

熱力学第二回：ポアソンの式と断熱変化

＜この記事の内容＞：シリーズ第2回目として、『断熱変化』の問題を解くときに欠かせない「ポアソンの法則(式)」の導き方と、問題での使い方を解説しました。

前回：「シリーズその一：”熱力学の第一法則”と”W”・”ΔU”・”Q”」

ポアソンの式(法則)とは

ポアソンの式とは、『断熱変化』が起こるとき、下の項で紹介しているような関係が成り立つことを言います。

関係式(ポアソンの法則)

ポアソンの法則で知っておく必要がある式は次の３つです。以下で出てくるγは「比熱比」と呼ばれ(3)で解説しています。

（１）：\(PV ^{\gamma}=Const.\)

『まずは、圧力×体積のガンマ乗が一定である』

（２）：\(TV^{\gamma -1}=Const.\)

『もう一つは、絶対温度×体積の（ガンマ−１）乗が一定である』

（３）：そして、上二つの式で登場したガンマ\((\gamma\))は定積モル比熱\(C_{V}\)と定圧モル比熱\(C_{P}\)を使って

\(\gamma＝\frac{C_{P}}{C_{V}}\)の関係式で表すことができます。

ポアソンの式の導出:\(TV^{\gamma -1}\)

ここでは導き方を解説していきます。数学３の微積分の知識があれば（”変数分離型”の「微分方程式」を扱います）理解できるように、なるべく式変形を省略せずに詳しく導いていきます。

出来ればこの項を理解しておきたいですが、まだ？？な人は次の項へ進んでください。

※：簡単のため、気体は”単原子”分子、かつ、”理想気体”であるとします。

断熱（変化）ということは、外から熱が入ってくることはありません。したがって\(Q_{in}=0\)

$$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T $$と\(W_{OUT}=P\Delta V\)

はまだわかりません。

これらの関係を、「熱力学第一法則」に代入すると、

\(0=P\Delta V +\frac{3}{2}\cdot nR\Delta T\)

ここで、”状態方程式：PV＝nRT”を用いて、デルタの入っていないP（圧力）を、$$P=\frac{nRT}{V}$$として変形し、PΔVのPに代入します。（参考：「理想気体の状態方程式（化学）」）

どちらでも構いませんが、W=ΔUの式にするために移項して、

《VとΔV》《TとΔT》が同じ側になる様にします。

$$\frac{\Delta T}{T}=-\frac{2\Delta V}{3V}$$

ここで、両辺を積分します。

$$\int \frac{1}{T}dT=-\frac{2}{3}\int \frac{1}{V}dV$$

この形は、\(\int \frac{1}{x}dx=\log_{e}x\)と同じなので、

$$\log{T}＝\frac{3}{2}\log{V}+C$$

自然対数なので、eを使って書き換えると

$$e^{\log{T}}= e^{\frac{3}{2}\log{V}+C}$$

(※:この部分の変形が正しいのか分かりづらいときは、両辺それぞれに自然対数を取ることでチェック出来ます)

指数部分を比べて、$$T＝V^{\frac{-2}{3}}\cdot e^{C}$$

ゆえに、$$TV^{\frac{2}{3}}=e^{C}=Const.$$

よって、TとVの３分の2乗が一定であることが導けました。

\(PV^{\gamma}\)の導出について

なお、\(PV^{\gamma}\)については、\(TV^{\gamma -1}\)から『状態方程式を変型して代入』することで導くことができるので、各自挑戦して見てください。

使いみち

次の項でポアソンの式の具体的な使い道を紹介します。

断熱変化での利用

では、早速”断熱”変化の問題を使ってその解き方を見ていきます。(定積・定圧の場合の問題は現在作成中です。)

定着問題(具体例で確認)

外部と熱のやりとりができないよう、断熱材で出来たピストン付きのシリンダーがある。

今シリンダーの中には、\(n(mol)、P_{1}(Pa)、V_{1}(L)、T_{1}(K)\)の気体が入っている。

この気体は単原子分子の理想気体(気体定数R)であり、\(\gamma＝\frac{5}{3}\)、かつ\(C_{V}=\frac{3}{2}nR\)であるものとして以下の問題に答えよ。

小問1:はじめの状態から体積を\(4V_{1}\)まで断熱膨張させた。この時の圧力を\(P_{2}(Pa)、温度をT_{2}(K)\)とする。\(P_{2}(Pa)とT_{2}(K)\)をそれぞれ求めよ。

小問2:この間に気体がした仕事を求めよ。

解答解説

さっそく問題の流れを見ていきましょう！

解答1:状態方程式とポアソンの式

まず、状態方程式を変化前と後の２つ立てます。

\(P_{1}V_{1}=nRT_{1}\cdots (式一)\)

\(P_{2}V_{2}=nRT_{2}\cdots (式二)\)

さらに、\(V_{2}=4V_{1}\)より、

\(4P_{2}V_{1}=nRT_{2}\cdots (式二-二)\)

ここで、未知数二個に対して使える式は(二−二）だけなので、ポアソンの法則より、

\(P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}=Const.\cdots (式三)\)

を立てます。

式三のV2に4V1を代入して、

$$P_{1}V_{1}^{\frac{5}{3}}=P_{2}(4V_{1})^{\frac{5}{3}}$$

ここで指数法則より（参考：「指数・対数の基礎と問題を解説」）

4の『３分の５乗』は８√２。

従って、$$P_{2}=\frac{\sqrt{2}}{16}P_{1}$$

次に、温度を求めるために (式一)と(式二)を見比べて割ってあげると、

$$\frac{P_{1}\cdot V_{1}}{P_{2}\cdot 4V_{2}}=\frac{nRT_{1}}{nRT_{2}}$$

上の式にいま求めたP2を代入した上で、圧力・体積を整理すると、

$$\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{T_{1}}{T_{2}}$$

よって、

$$T_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}T_{1}$$・・・（答え）

解答2:熱力学第一法則の復習

小問１で、熱力学第一法則を用いるために必要な情報はそろいました。

まず断熱変化より、Q=0,そして内部エネルギーの変化は\(=C_{V}\cdot n\cdot \Delta T\)

$$ここで\Delta T=T_{2}-T_{1}=\frac{\sqrt{2}-4}{4}T_{1}$$

よって、気体がした仕事Wは

$$0=W+\frac{3}{2}nR\left(\frac{\sqrt{2}-4}{4}\right)T_{1}$$

ゆえに、

$$W＝\left(\frac{12-3\sqrt{2}}{8}\right)nRT_{1}$$

・・・（答２）

熱力学(二)まとめ

・ポアソンの式の導出については、できれば再現できることが望ましいです

・が、（難関大・学部以外を受験する場合）は最低でもポアソンの式を覚えて、断熱変化の問題で使えるように類題をこなしておきましょう。

＞＞「高校化学の気体分野を合わせて見る」

関連記事と次回へ

熱力学シリーズ”第一回”：「熱力学第一法則とΔU、Q、W」

(〃)シリーズ”第二回”：「（作成中）定積・定圧変化と力学の問題」

(〃)シリーズ”第三回”：「（今ここです）ポアソンの式と断熱変化」

(〃)シリーズ”第四回”：「（作成中）熱力学”第二法則”と熱効率e・永久機関」

今回も最後までご覧いただきまして、ありがとうございました。

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