高校物理を微積で自然に理解しよう!

 

微積で物理を勉強したい独学者向け講座

今回は微分・積分を使って高校範囲の物理を勉強したい人と、大学からの本格的な物理学を学び始める基礎を学びたい人に向けて書いています。

先に単振動を普通の順序に学んでおくと、この記事の理解もスムーズに進むので、出来れば以下の記事を読んでおいて下さい。→単振動をはじめから徹底的に解説

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では、いよいよ単振動を微分方程式で解く説明を開始します。

二階微分方程式

変数分離型では、微分を一度した記号(例:dx/dt) が入っていました。

今回単振動を解くには、もう一段階レベルアップした、「二階微分方程式」を解く必要があります。

この方程式は、文字通り微分を2度した記号が入っていますが、解法は決まっているので、取り敢えず読んで見て下さい。

単振動の運動方程式

さて、単振動を微分方程式を使わずに書くと、

ma=-k(x-x0) (kはバネ定数)・・・#となります。

これは x0(釣り合いの位置)からx(物体の位置)までバネを伸ばす/縮める時、バネが元に戻ろうとする復元力がーk(x-x0)で、=maと等式で結べるという意味でした。

そして、#の式は、a=−( k/m )(x-x0)と変形した上で、ω=√k/m (角振動数)、(xーx0)=Xと置いて代入すると、a=-ω2(X) とすることが出来ます。・・・##

では、今回は微分方程式で単振動の式を記述して見ましょう

まず、加速度a(m/s^2)は位置X(m)を時間で二度微分したものです。(位置→速度→加速度)

そこで、a=d2X/dt2と書きます。(二階微分は二乗の位置が分母・分子で異なっているので注意して下さい

これを##に代入すると、d2X/dt2=ーω2X・・・###と書く事が出来ました。

この二階微分方程式の解法

この微分方程式を解く上で意識しなければいけない事として、

・二階微分をしているので、2度積分すれば元の式に戻ること(微分積分学の基本定理)=積分定数が2つ必要になる。

・左辺の元の式を二階微分すると、ーω2  が係数として出てくる事とその符号がマイナスである事。

 

これら上2つの特徴から、2種類の三角関数の和がこの微分方程式の一般解として表せます

先に一般解を記述すると、

X=C1sin(ωt)+C2cos(ωt)

です。試しにXを二階微分してみると###の式を満たすことが分かると思います。

いきなりこの解を思い付くのは大変である事と、式変形は複雑であるので割愛します。

(気になる人は線形二階微分方程式の一般解を調べて見て下さい)

さて、X=C1sin(ωt)+C2cos(ωt) にはC1、C2と積分定数が2つあるので、初期条件を2つ代入することで、

任意の単振動の運動が全て表せるようになりました。

<注>当然C1sin(ωt)とC2cos(ωt)を合成して、

X=√C1^2+C2^2{sin(ωt+α)}   を一般解としても構いません!

(この様に初期条件を代入した一般解を特殊解と言います。)

では単振動の微分方程式(線形二階微分方程式)の一般解は上述の式しか無いでしょうか?

 

二階微分して符号が反転するが元の関数は変化しないもの。。。

....

....

e^xは元の関数は変化しませんね!ですからネイピア数を使って解を出せそうです。

但し符号が反転した上で、係数にω2が出てこないといけない事から、eの虚数乗を計算する必要がありそうです。

この場合、オイラーの公式を使うと便利なのですが、それは別の記事で詳しく扱いたいと思うので、しばしお待ちください!m(__)m

<製作中です(・・;)>

 

この様に、微分方程式を解く時には一定のやり方があり、自ら思い付くことが大変であったりそもそも解けない可能性もあります。

しかし大学受験レベル〜学部への橋渡し迄であれば、この微分方程式が最も難しい部類に入るので

流れとともに一般解を覚えておけば問題有りません。

 

いかがでしたか?

恥ずかしながら筆者が初めて単振動の一般解を参考書で見た時、三角関数が2つ足し合わされている所で??となってしまいました。

普通に考えれば当然なのですが。

この記事がその様な所で悩んでいる人の参考になれば幸いです。

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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