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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

1の3乗根=ωをまとめて解説(数2/数3)

<この記事の内容>:ωの基本的な意味の解説から頻出問題・計算問題対策、複素数平面でのωまで高校数学で必要なオメガの知識をまとめました。(コンテンツ追加中)

<参考記事>:「虚数単位iから複素数平面の応用まで解説記事まとめ

ω(オメガ)とは?

そもそも\(\omega\)とはどのような数なのでしょう?

『1の3乗根』

ω:オメガは1の3乗根で1以外のものと言えます。

言い換えると、3乗したら1になる数の内“1”を除くものという意味です。

つまり、\(x^{3}=1\)を満たすxかつ、x=1以外のものを特別に”オメガ”と名付け、ギリシャ文字の”ω”で表しているのです。

実数の範囲で考えれば、3乗したら1になる数は1だけですが、虚数単位iを導入して複素数の世界でもωの値を調べてみましょう。

因数分解と解の公式でωの値を求める

\(x^{3}=1\)なので、\(x^{3}-1=0と移項して\)因数分解していきます。【参考記事:「因数分解の手法総整理!必須公式と因数定理etc,,,」】

すると、\((x-1)(x^{2}+x+1)=0\)より、x=1(これは上で挙げた1です)そして残った\((x^{2}+x+1)=0\)の値は因数分解できないので、解の公式を使用します。

従って解の公式より、$$\frac{-1\pm \sqrt{1^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{2}$$

よって、\(\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}\)、\(\sqrt{-3}=\sqrt{3}i\)なので、残りの解は\(x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}\)となります。

すなわち、\(\omega=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}\)がωの値となります。

定着用問題(計算)

では、実際にどのような時にωを使うのかについて、ωの復習を兼ねて頻出問題を解いて見ましょう。

ωの問題で一番多いのがωの〇〇乗の値を求めよ。といったものです。

例1):\(\omega^{99}を計算せよ。\)

このような問題はもちろん99回も掛け算をするのではなく、指数法則をうまく用いて処理します。

例1解答:)\((\omega)^{99}=((\omega)^{3})^{33}\)ゆえに、\(1^{33}=1\)だから、答え1。

例2):\(\omega^{5}+\omega^{4}+\omega^{3}の値を求めよ。\)

式の形で問題が与えられる事もありますが、そのほとんどが\(\omega^{3}=1でくくったり\)、\(\omega^{2}+\omega+1=0を用いる\)事で解決します。

例2解答:)\(\omega^{3}(\omega^{2}+\omega+1)\)で、\(x^{2}+x+1=0だったので、1・(0)=0\)

複素数平面とω

ここからは、数2の範囲から数学3の複素数平面でのωについて考えます、

ωの2つの値と、実数1は以下の図のように存在します。

複素平面上でのωの位置

ωを直交形式→極形式へ

まず始めに、これら3つの値を直交形式から極形式に変換しておきます。<参考:「極形式と直交形式の相互変換」>

図より、

ωと直交形式から極形式へ

直交形式でのωが3つ表されています。

まず、上図での青色の部分、\(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)を極形式へ変換すると、

直交形式(座標)から極形式(座標)へ移す(θ=2π/3)

上のようになり、$$\omega=\cos \frac{2}{3}\pi+i\sin \frac{2}{3}\pi$$

次に、赤色の部分を変換すると、

直交形式(座標)から極形式(座標)へ移す(θ=4π/3)

$$\omega=\cos \frac{4}{3}\pi+i\sin \frac{4}{3}\pi$$

最後に残った1+0iも極形式にすると

$$\omega=\cos 0+\sin 0$$

ド・モアブルの定理とω

今度は、ド・モアブルの定理(参考:「ド・モアブルの定理をわかりやすく解説」)を使ってωの二乗を計算して見ます。

\(ω=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\)

大きさは変化せず、偏角だけが 2倍されるので

\(ω・ω=\cos \frac{2}{3}\pi \cdot 2 +i\sin \frac{2}{3}\pi \cdot 2\)

\(\omega^{2}=\cos \frac{4}{3}\pi+i\sin \frac{4}{3}\pi \)

この式から、ωの二乗=ωの共役複素数である事が分かります。

同様にωを三乗すると、偏角3倍なので

\(ω^{3}=\cos \frac{2}{3}\pi \cdot 3 +i\sin \frac{2}{3}\pi \cdot 3\)

\(=\cos 2\pi +i\sin 2\pi=1\)

 

複素平面でωを見る

先ほど、紹介したωの式:\(\omega=\omega^{2}\)や、\(\omega=\bar\omega\)も複素数平面でみるとスッキリ理解しやすくなります。

ωの共役とωの二乗の関係(図)

青の\(\bar\omega は\omega^{2}\)と一致していることが分かります。

オメガまとめと関連記事

・三乗すると1になる値(1を除く)をωとおく

・ω関係で、特に頻出の式は\(\bar\omega=\omega^{2},\omega^{2}+\omega+1=0\)

複素数平面シリーズと1のn乗根へ

数学2の複素数の基礎から→数Ⅲの入試レベルまで、「数2から数3の応用レベルまで複素平面を分かりやすく解説」のページに重要な記事をまとめました。

<現在”1のn乗根”についての記事を作成中です>

差がつきやすい分野なので、うまく利用して差をつけましょう!

 

今回も最後までご覧いただき、有難うございました。

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