２変数関数の最小値を求める
＜この記事の内容＞：変数が２つある、いわゆる『２変数関数』の最小値の問題の解法を3種類紹介します。
（2020/02/08更新：未定乗数法(応用レベル)の記事を最後の項に追加しました。）
目次(タップした所へ飛びます)
２変数関数の問題のアプローチ
前回、１変数の二次関数の最大・最小値の求め方について解説しました。＜参考：「2次関数の最大・最小値の問題の攻略」＞
今回は、\(f(x,y)=ax^{2}+bx+cy^{2}+dy+e\)
(但し、a,b,c,d,eは定数)のような、変数（動く数）が“２種類”ある関数の最小値を求める方法について考えます。
変数間の条件式が与えられている場合(1)
まずは最も簡単なタイプから解いていきましょう。
問1：\(f(x,y)=x^{2}+2x+y^{2}+2y+1でx+y=2\) の”最小値”と、その値をとる時の”x”、”y”を求めなさい。
文字は２つありますが、条件式(x+y=2)を与えられているので、１文字消去（xでもyでも構いませんが計算が楽になる方）を行うことで単純な２次関数の問題に変形できます。
y=2-x・・・より、f(x,y)=の“y”に(2-x)を代入し、\(=x^2+2x+3(2-x)^{2}+2\)
\(=4\Large{(x^{2}-\frac{5x}{2})+14}\)
これを平方完成することで最小値が求まります。
\(=4\Large{(x-\frac{5}{4})^{2}+\frac{31}{4}}\)
上式より、x＝5/4、y＝2-(5/4)=3/4のとき最小値31/4をとる。・・・(答)
条件式有り+置き換え時に注意が必要なタイプ
次の問２は、先ほどの問１とほとんど同じに見えますが、実数条件に注意が必要なタイプです。
問2：\(f(x,y)=3x^{2}+2x+y^{2}+5 で3x+y^{2}=5\)の時の”最小値”と、その時の”x、y”を求めなさい。
この問題のように、条件式の次数が文字によって違っている場合、より高次の（ここでは3xよりも、y2)文字を代入して１変数関数の問題に変形させます。
（注意！！※：ここで、y2=5-3xとして、f(x,y)に代入し、そのまま問１と同じ手順で最小値を求めて終わり・・・ではありません！）
yは実数（条件より）ということは、y2は必ず０以上です。
ゆえに、もちろんその２乗である”変形した条件式”の（右辺）＝5-3xも０以上である必要があります。
従って、xの条件は以下の通りです。
$$\frac{5}{3}>x$$
次に条件式をyの二乗に代入し、\(=3x^{2}+2x+(5-3x)+5\)
整理すると、以下の様にx=(-1/2)の時に最小値を取ることがわかります。
このx＝(-1/2)は置き換えた時の条件(x<5/3)を満たすので、
$$=3(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{37}{4}$$
したがって、 x＝(-1/2)、y＝13/2のとき、最小値37/4をとる。
純粋な２変数関数の問題の解法(3)
問3：\(f(x,y)=2x^{2}+3x+y^{2}+2y+5\)の”最小値”と、その値をとる時の”x、y”を求めなさい。
この問３には条件式がありません。数学１の範囲では最も難しいタイプです。
一文字固定法の意味と手順
１文字消去ができないこのような場合には、『１文字固定』という定石の解法があります。
すなわち、まずどちらか一方の文字だけに注目し、平方完成した上で（この時もう一方の文字は変数ではなく『定数』扱いをします）、その後残ったもう一つの文字で平方完成するという解法です。
実際に回答を作っていくので、上の説明がよくわからなくても見てみてください。
(step1)：xだけに注目して平方完成する
まず\(f(x,y)＝2x^{2}+3x+y^{2}+2y+5 \)の式のうちxだけに注目して平方完成します。
まず次のように、xの式を整理し、$$2(x^{2}+\frac{3}{2}x)+y^{2}+2y+5 $$
これを平方完成して、$$2(x+\frac{3}{4})^{2}+y^{2}+2y+\frac{31}{8} $$
となり、
\(x＝-\frac{3}{4}\) のとき、(最小値):「\(y^{2}+2y+\frac{31}{8}\)」を取ることがわかります。
(step2)：残ったyだけに注目して平方完成する
\(f(x,y)＝＝2x^{2}+3x+y^{2}+2y+5\)の式のうち残った$$『y^{2}+2y+\frac{31}{8} 』$$の部分を、今度は固定していた"y"に着目して平方完成すると、式は次のようになります。$$(y+1)^{2}+\frac{23}{8}$$
(step3)：1,2をまとめ、２変数関数の最小値とその時のx、yの値を求める
step１・２の式をまとめると以下の式となり、
$$2(x+\frac{3}{4})^{2}+(y+1)^{2}+\frac{23}{8}$$
\(x= -\frac{3}{4}\)、かつ、y=-1 のとき
2変数関数全体の最小値『\(\frac{23}{8}\)』が求まりました。
(応用編：偏微分の利用)
(ココの項は微分を既習で、応用的な範囲を学びたい人向けです)
高校範囲外で、試験には使えませんが『検算』する時に役立つ偏微分について触れておきます。
（以下の記事中で偏微分の簡単な解説をしているので、そこだけご覧ください）
「機械学習のための"偏微分"・合成関数の微分を高校レベルで解説」
＜現在実際の使い方を追記中です＞
2変数関数の最小問題のまとめと関連記事
・条件式があれば事実上”1変数関数”の問題に出来るが、実数条件に要注意！
・条件式が無ければ、一文字固定法を利用する
・今回紹介した方法の他にも最大・最小問題の解法は色々とあるので、随時更新していきます。
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（2020/02/08作成）：「（応用）ラグランジュの未定乗数法で最大値を求める方法」
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