群数列と注目すべきたった2つのこと
＜この記事の内容＞：「『群数列』が思うように解けない」、「解答に書いてあることや、板書の内容がイマイチ理解できない」といった人に向けて、どんなタイプの”群数列”の問題でも通用する『２つの準備』と、その使い方・応用法を実際の問題を通して紹介・解説しています。
＜参考記事＞：「数列の”漸化式の解法”：全12パターン総まとめ」
目次(タップした所へ飛びます)
群数列とは？
群数列とは、その名の通り「数列」を「一定のルールで【群(=group)】に分けたものです。以下の項で具体例をみながら解説していきます。
群数列の例と問題
例題（１）：\(1|3,5,7|9,11,13,15,17|19\cdots \)
上のように並んだ数を,一定のルールで区切った(第１群・第２群・・・)数列がある。
この時、第n群の初めの項を（nの式）で表せ。
【最重要】必ず求めておく2つの一般項
このあと紹介する『コツ２』で、”数列の和”を計算するためにΣ（シグマ）を用いるので、曖昧な人は「シグマ記号の意味と公式：数列の和」を先にCheckしておいてください。
"仕切り"を取り払った「全体の数列」(コツ一)
コツのうち一つ目は、群に分けている「仕切り」を取り払った時に出来る”数列の規則性”を確認します。
1|4,7|10,13、、、の「|」を取ると『初項1、公差3の”等差”数列』になっている事がわかります。
このように、一般項を求める事が可能な場合は先に求めておきます。
一方で、「分数が並ぶ群数列」や「同じ数字が連続する」ようなタイプでは一般項を求める事が難しい場合があります。
そのような時でも、規則性をcheckしておく事で後の問題の重要なヒントになる『詳しくは「群数列第二回：その他の解法プラスα」で紹介しています。』ので、簡単にメモしておきましょう。
"各群"に含まれる「項の数の数列」（コツ二）
この（コツ二）が"最重要points"です。各群の数の個数(項数)を調べて、その数列の一般項を求めておきます。
例題の解答
コツ(１)、(２)の通りにやっていきます。
(コツ1)の一般項を求める
仕切り問題の数の列から、グループに分けている仕切り『|』をとると、1、3、5、7、、、、と”初項1、公差2の等差数列”になっているので【全体の数列の一般項】を\(a_{n}\)とすると、\(a_{n}=1+(n-1)\times 2\) よって、\(a_{n}= 2n-1\)。
(コツ2)の一般項を求める
次に各々の第●群に何個の数字があるのかを考えると(コツ2)、第1群が1個、第2群が3個、と2個づつ増えていくので、【”項数の数列”の”一般項”】を\(A_{N}\)として、\(A_{N}=1+(N-1)\times 2＝2N-1\)。
（※この問題では2つの一般項が似たかたちになっていますが、いつもこうなる訳ではありません。）
n-1群の末項までの項数を求める
つぎに、問われているのが第n群の初項（＝第n-1群の末項＋１項）であることから、まずn-1群の最後の項までの『項数』を\(A_{N}\)の総和から導きだします。(添え字のnとNは別なことに注意！）
$$\sum_{N=1}^{n-1}2N+1$$（＝この式で第１群が1項＋第２群が3項＋・・・＋第n-1群が2n-1項をすべて足し合わしたことになります。）
$$\sum_{N=1}^{n-1}2N+1=2\times \frac{(n-1)n}{2}-(n-1)$$
\(=n^{2}-2n+1\)。故に\(n^{2}+2n+1+1=n^{2}+2n+2\)が第n群の初項の項数になります。
全体の数列に代入する【完】
全体の数列の一般項は”(コツ２)”で求めているので、あとは\(a_{n}= 2n-1 \)のnに\(n^{2}+2n+2\)を代入すれば題意の数が計算できます。
よって、\(a_{n^{2}+2n+2}=2n^{2}-4n+3\)が(答)となります。
検算を忘れずに！
群数列の問題では文字（変数）が複雑になり、とくに計算ミスを起こしやすいので、答えの式に（第３群目くらいまで）を代入して、必ず「検算」しておきましょう。
ここでは、
n=1 :2ー4＋3=1
n=2 :8ー8＋3=3
n=3 :18ー12＋3=9
それぞれ、問題１の数列と一致します。
群数列の応用問題編
では、”群数列の応用”を含む色々な問題に取り組んでみましょう。
問題2(1)~(4)
（応用問題：２）
１、５｜９、１３、１７、２１｜、２５、２９、３３、３７、４１、４５｜４９、５３、５７、６１・・・
上のような群数列がある。
この時、
(1):第n群の"初項"を(nの式)で表せ。
(2):第n群のすべての項を"足し合わせた数"を示せ。
(3):”第８群”の”すべての項の和”を求めよ。
(4):"57"は第何群の何番目の数か。
解答解説編
まず「コツ1」「コツ2」をcheckしていきます。
(解答1):第n群の"初項"
これは、上に書いたように、先ほどの”例題１”で解いた時と殆ど同じ方法で求めることができます。
・仕切り(|)をとって、初項1、公差4の等差数列になっているので、【全体の数列の一般項】を\(a_{n}\)とすると、\(a_{n}=1+(n-1)\times 4\) よって、\(a_{n}= 4n-3\)。
・(コツ2より)【項数の数列の一般項】を\(A_{N}\)として、(2項/4項/6項・・・と増えていくので)\(A_{N}＝2N\)。
・同様に、$$\sum_{N=1}^{n-1}2N=2\times \frac{(n-1)n}{2}=n^{2}-n$$
・n群の初項なので【+1項】をし、\(a_{n}= 4n-3\)に代入すると、
\(4n^{2}-4n+1\)が(答)です。
(解答2):第n群のすべての項を足し合わせた数
第n群は
・初項が(１)で求めた数\(4n^{2}-4n+1\)
・末項が$$\sum_{N=1}^{n}2N=2\times \frac{n(n+1)}{2}=n^{2}+n$$これを\(a_{n}= 4n-3\)に代入し、結果：\(4n^{2}+4n-3\)
・さらに項数が"2n"
かつ、これは"公差4の等差数列"なので、これを「等差数列の和の公式」に代入すれば簡単に求まります。
$$\frac{(項数)(初項+末項)}{2}$$
$$=\frac{2n((4n^{2}-4n+1)+(4n^{2}+4n-3))}{2}$$
よって、\(n\times (8n^{2}-2)=8n^{3}-2n\)と求まりました。（答）
(解答3):第5群のすべての項の和
（３）では「第5群」というこれまでと違って具体的な数が出てきました。
ただし、（２）で一般の場合（つまり第n群の場合）の和を求めているので、単純にn=5を代入すれば答えを導き出すことができます。
\(n\times (8n^{2}-2)=8n^{3}-2n\)のn=5より、\(8\times 5^{3}-10=990\)
よって、990（答）。
(解答4):”57”は第何項の何番目の数か
この問題は、少しだけ『実験』が必要です。（参考：「整数：わからないor難問は『実験』せよ！」
具体的には、"57"が何群に属するのか分からないので、先ほど求めた第n群の初項の式の"n"に「ある程度見当をつけて」数を代入します。
具体的にやってみましょう。\(4n^{2}-4n+1\)より、n=5の時：81（つまり、第５群の初項は81）なので、もう少し小さな数を代入します。n=4の時、49・・・これより、57は第４群に属していることがわかります。
次は第４群の中での順番です。これくらいの数であれば式を使わずに求めることが出来ます。
公差が４であることと、初項が49であることから４９＋４＋４＝57。
よって、”57”は第4群の3番目の数（答）。
今回のまとめと関係のある記事
さて、”群数列”は”格子点”と並んで、数列の中では敬遠する人が多いですが、この記事をしっかり読んで例題２をきっちり解けるようになれば、ほとんどのタイプの問題に対応できます。よく復習して、問題集等で類題を何題か解いておきましょう！
（※：続編「群数列その２：数字が並ぶタイプやその他の解法」も合わせてご覧ください。）
読んでおきたい数列の記事一覧
今回も最後までご覧いただきまして、有難うございました。
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